Интуиция подсказывает, что как значение оригинала в окрестности нуля
Спорный тезис. Обратное преобразование Лапласа

Значение оригинала в нуле

зависит, вообще говоря, от всех значений изображения, лежащих на контуре интегрирования, или от вычетов изображения в полюсах из левой полуплоскости относительно

, которые вовсе не обязаны быть локализованными в окрестности бесконечно-удалённой точки.
Сама постановка вопроса... Изображение - функция комплексного переменного, принимающая комплексные значения. Оригинал - действительная фукнция. О каком "поведении" идёт речь?