поведение изображения преобразования Лапласа на беск-ти

[oposum]

Как ведет себя изображение при преобразовании Лапласа на бесконечности? Интуиция подсказывает, что как значение оригинала в окрестности нуля
Имеется в виду одностороннее преобразование Лапласа на положительной полупрямой

[Полосин]

Стремится к нулю (при абсолютно интегрируемом оригинале, конечно). В общем случае, больше ничего сказать нельзя. Стремление к нулю может быть как угодно медленным и как угодно быстрым. Подсказка вашей интуиции справедлива только для определенного класса функций.

[profrotter]

oposum в сообщении #434725 писал(а):

Интуиция подсказывает, что как значение оригинала в окрестности нуля

Спорный тезис. Обратное преобразование Лапласа

$$f(t)=\frac 1 {2\pi i} \int\limits_{a-i\infty}^{a+i\infty}F(p)e^{pt}dp.$$

Значение оригинала в нуле

$$f(0)=\frac 1 {2\pi i} \int\limits_{a-i\infty}^{a+i\infty}F(p)dp.$$

зависит, вообще говоря, от всех значений изображения, лежащих на контуре интегрирования, или от вычетов изображения в полюсах из левой полуплоскости относительно $a$, которые вовсе не обязаны быть локализованными в окрестности бесконечно-удалённой точки.

Сама постановка вопроса... Изображение - функция комплексного переменного, принимающая комплексные значения. Оригинал - действительная фукнция. О каком "поведении" идёт речь?

[oposum]

profrotter в сообщении #434862 писал(а):

Сама постановка вопроса... Изображение - функция комплексного переменного, принимающая комплексные значения. Оригинал - действительная фукнция. О каком "поведении" идёт речь?

Имелось в виду как функция вещественного переменного

[ewert]

Ну вообще-то если оригинал $f(t)$ непрерывен в нуле (в смысле справа от нуля, конечно), то $f(0)=\lim\limits_{\mathop\mathrm{Re}p\to+\infty}pF(p)$, разумеется.