Произведение попарных разностей, равное сумме квадратов

[Xenia1996]

Сколько решений в натуральных числах имеет это уравнение?

$x^2+y^2+z^2=(x-y)(y-z)(z-x)$

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #433767 писал(а):

Сколько решений в натуральных числах имеет это уравнение?

$x^2+y^2+z^2=(x-y)(y-z)(z-x)$

А подставьте $z=y+7$ и увидите.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #433783 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #433767 писал(а):

Сколько решений в натуральных числах имеет это уравнение?

$x^2+y^2+z^2=(x-y)(y-z)(z-x)$

А подставьте $z=y+7$ и увидите.

А я совсем по-другому сделала.
Пусть $x=a, y=2a, z=3a$, тогда $x^2+y^2+z^2=14a^2$, а $(x-y)(y-z)(z-x)=2a^3$, откуда $a=7, x=7, y=14, z=21$

Поехали дальше:

$x=3a, y=4a, z=5a$, тогда $x^2+y^2+z^2=50a^2$, а $(x-y)(y-z)(z-x)=2a^3$, откуда $a=25, x=75, y=100, z=125$

В общем случае:

$x=(2n-1)a, y=2na, z=(2n+1)a$, тогда $x^2+y^2+z^2=(12n^2+2)a^2$, а $(x-y)(y-z)(z-x)=2a^3$, откуда $a=6n^2+1, x=12n^3-6n^2+2n-1, y=12n^3+2n, z=12n^3+6n^2+2n+1$

[nnosipov]

Откуда задачка?

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #433791 писал(а):

Откуда задачка?

Частично сама придумала, но идею скоммуниз взяла с индийской олимпиады. Только там не в натуральных, а в целых просили, в целых немножко легче.