интегральное уравнение

[ecartman]

Добрый день! Можно ли решить в явном следующее интегральное уравнение:

$$ u(x)=1+\int_0^a \frac{(1+x)^2}{(1+x+y)^2} u(y)dy, $$

где $0<a<\infty$ и дано?

Подозреваю, что ответ включает специальные функции.
Буду признателен за любые идеи. Спасибо!

[svv]

Человек, который занимался какое-то время интегральными уравнениями, сказал, что в данном случае надежда на получение явного решения минимальная.
Посоветовал книгу: А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. Киев, 1986.

[ecartman]

Большое спасибо за ссылку на книгу, уже нашел ее и еще несколько справочников. Обязательно посмотрю.
А в чем интуиция что нельзя решить в явном виде? Просто в том, что ядро не факторизуется (т.е. что переменные не разделяются)?
Еще раз спасибо за помощь!

[ecartman]

Я прошу прощения, степень в знаменятеле дроби под интегралом должна быть 3 а не 2. Т.е. уравнение такое:

$$ u(x)=1+\int_0^a \frac{(1+x)^2}{(1+x+y)^3} u(y)dy, $$

где $0<a<\infty$.

Но по всей видимости решения получить в явном виде все равно нельзя?

[svv]

ecartman писал(а):

Просто в том, что ядро не факторизуется (т.е. что переменные не разделяются)?

Да.

Сам я не являюсь специалистом в этой области. Но мне кажется, если для какого-то класса интегральных уравнений существуют регулярные методы нахождения решения, они будут описаны во многих книгах. Если же уравнение не подпадает ни под один стандартный класс, явное решение, может быть, и есть, но найти его... сами понимаете. Так что смотрите сами, может быть, что-то похожее и найдётся. Искренне желаю удачи.

[Gortaur]

Решение нужно обязательно аналитическое? А то может, оператор сжимающий.

[ecartman]

Gortaur в сообщении #424314 писал(а):

Решение нужно обязательно аналитическое? А то может, оператор сжимающий.

Давайте посмотрим на оператор, раз уж нет надежды на аналитическое решение.
Заранее признателен за помощь!

[koushe]

Здравствуйте. Необходимо решить интегральное уравнение. Подскажите пожалуйста способ решения в общем виде(необходимо определить y(x), z зависит от x и от y(x), а A и y1 - константы) или метод будет зависеть от конкретного вида функции z?

у(x) = y_1 +\int_{0}^{x} \frac{A}{z[l, y(l)]} dl

[svv]

koushe, если я правильно понял Вашу ситуацию, у Вас уравнение, по сути, не интегральное, и это хорошо.
Дифференцируя по $x$, получим:
$y'(x)=0+\frac d{dx}\int\limits_{0}^{x} \frac{A}{z(l, y(l))} dl = \frac{A}{z(x, y(x))}$
Итак, Вам просто нужно решить дифференциальное уравнение
$y'(x)=\frac{A}{z(x, y(x))}$
с начальным условием $y(0)=y_1$.

С "настоящими" интегральными уравнениями, вроде таких:
$y(x)=y_1+\int\limits_0^x \frac A {z(x,\,l,\,y(l))}dl$
такой трюк не пройдет. Заметили, в чем разница (и Ваше везение)?

[koushe]

svv в сообщении #433618 писал(а):

koushe, если я правильно понял Вашу ситуацию, у Вас уравнение, по сути, не интегральное, и это хорошо.
Дифференцируя по $x$, получим:
$y'(x)=0+\frac d{dx}\int\limits_{0}^{x} \frac{A}{z(l, y(l))} dl = \frac{A}{z(x, y(x))}$
Итак, Вам просто нужно решить дифференциальное уравнение
$y'(x)=\frac{A}{z(x, y(x))}$
с начальным условием $y(0)=y_1$.

С "настоящими" интегральными уравнениями, вроде таких:
$y(x)=y_1+\int\limits_0^x \frac A {z(x,\,l,\,y(l))}dl$
такой трюк не пройдет. Заметили, в чем разница (и Ваше везение)?

Вы совершенно правы. Так называемое интегральное уравнение было получено путм интегрирования того что написали Вы(но в первоисточнике предлагается решать именно это так называемое интегр. уравнение, не знаю почему) А как решать дифференциальное уравнение того типа? Заранее благодарен. Я в математике не силен к моему сожалению.

[svv]

Я обозначу Ваше $y_1$ через $C$, хорошо?

Если "они" рекомендовали решать именно интегральное уравнение, скорее всего, подразумевалось численное пошаговое решение. Интегральная форма хорошо подходит для методов типа того, что я сейчас опишу.

$y(x_0)=C$, $x_0=0$
$y(x_{n+1})=y(x_n)+\int\limits_{x_n}^{x_{n+1}} \frac A {z(l, y(l))} dl \approx y(x_n) + \frac {A} {z(x_n, y(x_n))}(x_{n+1}-x_n)$
Пусть шаг постоянный и равен $h$, тогда $x_n=nh$. Работаем дальше с дискретным множеством этих узловых точек. Обозначим $y_n=y(x_n)=y(nh)$. Тогда
$y_0=C$
$y_{n+1}=y_n + \frac {Ah} {z(nh, y_n)}$

Отсюда рукой подать до компьютерной программы, которая быстро будет последовательно вычислять функцию $y_n$ в узлах $x=x_n$.
И, как видите, метод можно назвать общим. Единственно -- для хорошей точности обычно пользуются усложненными вариантами, но общая схема такая же. Подробности см. в справочниках, по теме "Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка".

[koushe]

svv в сообщении #433646 писал(а):

Я обозначу Ваше $y_1$ через $C$, хорошо?

Если "они" рекомендовали решать именно интегральное уравнение, скорее всего, подразумевалось численное пошаговое решение. Интегральная форма хорошо подходит для методов типа того, что я сейчас опишу.

$y(x_0)=C$, $x_0=0$
$y(x_{n+1})=y(x_n)+\int\limits_{x_n}^{x_{n+1}} \frac A {z(l, y(l))} dl \approx y(x_n) + \frac {A} {z(x_n, y(x_n))}(x_{n+1}-x_n)$
Пусть шаг постоянный и равен $h$, тогда $x_n=nh$. Работаем дальше с дискретным множеством этих узловых точек. Обозначим $y_n=y(x_n)=y(nh)$. Тогда
$y_0=C$
$y_{n+1}=y_n + \frac {Ah} {z(nh, y_n)}$

Отсюда рукой подать до компьютерной программы, которая быстро будет последовательно выстраивать по шагам функцию $y_n$ в узлах $x=x_n$.
И, как видите, метод можно назвать общим. Единственно -- для хорошей точности обычно пользуются усложненными вариантами, но общая схема такая же. Подробности см. в справочниках, по теме "Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка".

Да в статье рекомендуется решать это дело численно. А возможно решить это если функция z кусочнозаданная (имеет разрыв) интервале x=0 до x= p(число)? Заранее благодарен за помощь.

[svv]

Можно чуть подробнее о функции $z$? Она зависит от двух аргументов: $z(x, y)$. На куски разбивается только интервал $x$ или $y$ тоже? Если только $x$, тогда при фиксированном $x$ функция $f(x, y)$ непрерывна по $y$, так? А по $x$ разрывна? Также интересно, на сколько кусков разбит интервал.

А может быть, Вы просто приведете явный вид $z(x, y)$?

[sup]

ecartman
Ваше уравнение однозначно разрешимо. Сначала с помощью замены $v(x)= \frac {u(x)}{1+x}$ симметризуем его

$$ v(x)=\frac {1}{1+x}+\int_0^a \frac{(1+x)(1+y)}{(1+x+y)^3} v(y)dy, $$

А после этого показываем, что $A$ сжимающий в $L_2(0,a)$, где

$$ Av=\int_0^a \frac{(1+x)(1+y)}{(1+x+y)^3} v(y)dy, $$

Иными словами $\|Au\|_{L_2(0,a)} \leqslant c <1$, для любой $\|u\|_{L_2(0,a)} \leqslant 1$.

[svv]

sup, мне кажется, что Вы и ecartman под "разрешимостью" понимаете разные вещи. Вряд ли для него на первом месте стоят вопросы существования и единственности решения. Но за доказательство спасибо.