Случайные элементы в банаховых пространствах. Литература.

[Sinus]

Доброго времени суток!

Порекомендуйте, пожалуйста, литературу, в которой затрагивается теория случайных элементов в банаховых пространствах. Мне удалось найти только книгу Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А., "Вероятностные распределения в банаховых пространствах". В частности, меня интересует следующий вопрос: пусть $(\Omega, \Phi,P)$ вероятностное пространство, $X$ - сепарабельное банахово пространство, $Y$ - банахово пространство случайных элементов в $X$ с нормой, например,

$$||\xi||_Y=E||\xi||_X.$$

При каких условиях на $(\Omega, \Phi,P)$ и $X$ пространство, сопряженное к $Y$, будет изометрично пространству случайных элементов в $X^*$ с некоторой нормой?

Этот круг вопросов мог бы, наверное, обсуждаться и в литературе по функциональному анализу.

Также буду благодарен за литературу, в которой речь идет о случайных элементах в компактных пространствах.

[Oleg Zubelevich]

Sinus в сообщении #418403 писал(а):

При каких условиях на $(\Omega, \Phi,P)$ и $X$ пространство, сопряженное к $Y$, будет изометрично пространству случайных элементов в $X^*$ с некоторой нормой?

рассмотрите случай $X=\mathbb{R}$

[Sinus]

При $X=\mathbb{R}$ будет иметь $Y=L_1(\Omega,\Phi,P)$ и, соответственно, $Y=L_{\infty}(\Omega,\Phi,P)$. В данном случае ответ на вопрос положительный.

[Oleg Zubelevich]

получается, что под пространством случайных элементов в $X$ (в данном случае $X=X^*=\mathbb{R}$) Вы понимаете два различных объекта

Sinus в сообщении #418454 писал(а):

$L_1(\Omega,\Phi,P)$

и

Sinus в сообщении #418454 писал(а):

$L_{\infty}(\Omega,\Phi,P)$

.
Непонятно не толь ко это. Что значит:

Sinus в сообщении #418403 писал(а):

$X^*$ с некоторой нормой?

$X^*$ это что алгебраически сопряженное, которое Вы наделяете некоторой нормой? Или $X^*$ топологически сопряженное к $X$ и Вы рассматриваете в нем топологии сргласующиеся с двойственностью?

[Sinus]

Oleg Zubelevich в сообщении #418471 писал(а):

получается, что под пространством случайных элементов в $X$ (в данном случае $X=X^*=\mathbb{R}$) Вы понимаете два различных объекта

Sinus в сообщении #418454 писал(а):

$L_1(\Omega,\Phi,P)$

и

Sinus в сообщении #418454 писал(а):

$L_{\infty}(\Omega,\Phi,P)$

С точностью до изометричности так оно и есть. Банахово пространство случайных элементов в $X=\mathbb{R}$ с нормой $||\xi||_Y=E||\xi||_X$ фактически есть пространство интегрируемых случайных величин, и сопряженное к ниму изометрично другому банаховому пространству случайных элементов в $X=X^*=\mathbb{R}$, пространству $L_{\infty}(\Omega,\Phi,P)$.

Oleg Zubelevich в сообщении #418471 писал(а):

Непонятно не толь ко это. Что значит:

Sinus в сообщении #418403 писал(а):

$X^*$ с некоторой нормой?

$X^*$ это что алгебраически сопряженное, которое Вы наделяете некоторой нормой? Или $X^*$ топологически сопряженное к $X$ и Вы рассматриваете в нем топологии сргласующиеся с двойственностью?

Под $X^*$ понимается топологически сопряженное к $X$ с обычной нормой (в которой $X^*$ - банахово пространство непрерывных линейных функционалов на $X$), а слова "с некоторой нормой" относятся не к норме в пространстве $X^*$, а к норме в пространстве случайных элементов в пространстве $X^*$ (прошу прощения за слишком частое употребление слова "норма" ). Например, для $ p\ge1 $ можно рассматривать пространства случайных элементов $\xi$ в пространсве $X^*$, для которых $ \((E||\xi||_{X^*}^p)^\frac{1}{p}<\infty $, с нормой

$$ ||\xi||=(E||\xi||_{X^*}^p)^\frac{1}{p} $$

[Oleg Zubelevich]

Вопрос ,видимо, звучит примерно так. Имеются банаховы сепарабельные пространства $X$ и его сопряженное $X^*$. Имеется пространство $L^p(\Omega,X)$ и пространство $L^q(\Omega, X^*)$ и $1/p+1/q=1,\quad p,q>1$. Верно ли что всякому элементу
$u\in (L^p(\Omega,X))^*$ соответствует $\xi\in L^q (\Omega,X^*)$ такой что $u(h)=\int_\Omega\langle \xi(x), h(x)\rangle dP(x)$ . Думаю, что начинать смотреть надо с Данфорда_Шварца.

[Sinus]

Oleg Zubelevich в сообщении #418531 писал(а):

Вопрос ,видимо, звучит примерно так. Имеются банаховы сепарабельные пространства $X$ и его сопряженное $X^*$. Имеется пространство $L^p(\Omega,X)$ и пространство $L^q(\Omega, X^*)$ и $1/p+1/q=1,\quad p,q>1$. Верно ли что всякому элементу
$u\in (L^p(\Omega,X))^*$ соответствует $\xi\in L^q (\Omega,X^*)$ такой что $u(h)=\int_\Omega\langle \xi(x), h(x)\rangle dP(x)$ . Думаю, что начинать смотреть надо с Данфорда_Шварца.

Вы правильно поставили вопрос. Фактически, в первом посте я задал тот же вопрос, только для $L_1(\Omega,X)$.

В первом томе книги Данфорд, Шварц "Линейные операторы" есть глава, в которой описываются различные свойства специальных пространств, однако в ней речь идет о пространствах вещественных и комплексных функций (исключение - гильбертово пространство).

[Oleg Zubelevich]

Боюсь, что, вообще говоря при произвольном сепарабельном $X$, хорошего ответа на Ваш вопрос нет. Вслучае конечномерного $X$ интересующее нас утверждение доказывается на основе теоремы Радона-Никодима. В случае бесконечномерного $X$ с этой теоремой , как пишут, возникают проблемы: http://en.wikipedia.org/wiki/Bochner_integral

Вот если бы теорема Радона -Никодима была верна, то рассуждать можно было бы по такой схеме. Пусть $u\in (L^1(\Omega,X))^*$. Каждому измеримому множеству $E\subseteq\Omega$ поставим в соответствие элемент $\xi(E)\in X^*$ по следующему правилу. Рассмотрим отображение: $X\ni x\mapsto u(\chi_E(\omega)x)$ это линейный функционал из $X^*$; обозначим его $\xi(E)$. Т.е. мы получили меру $\xi(E)$ со значениями в $X^*$. По теореме Радона-Никодима найдется функция $g:\Omega\to X^*$ такая, что $\xi(E)=\int_E g (\omega)dP(\omega)$ и соответственно $u(f)=\int_\Omega\langle f,d\xi\rangle=\int_\Omega\langle f,g\rangle dP$

[Oleg Zubelevich]

Нет, оказывается все не так плохо. Читаем Эдвардс Функциональный анализ, конец главы 8 Теория двойственности

[Sinus]

Oleg Zubelevich в сообщении #420182 писал(а):

Нет, оказывается все не так плохо. Читаем Эдвардс Функциональный анализ, конец главы 8 Теория двойственности

В указанной вами книге содержится много результатов, относящихся к поднятым здесь вопросам. В частности, ответ на вопрос в первом посте будет положительным при некоторых дополнительных условиях на пространство с мерой $(\Omega, \Phi,P)$.

Большое спасибо за оказанную помощь.