Уравнение в натуральных числах

[Xenia1996]

Решить в натуральных числах уравнение

$[1^{\frac{1}{3}}]+[2^{\frac{1}{3}}]+[3^{\frac{1}{3}}]+\dots +[x^{\frac{1}{3}}]>2011$

-- Пн апр 11, 2011 15:17:18 --

Разумеется, я имела в виду неравенство, а не уравнение.
Простите за ошибку!

[zhekas]

Пусть у нас в последнем слагаемом x=n^3-1

тогда сумма равна

$\sum\limits_{k=1}^{n-1} \left((k+1)^3-k^3\right)\cdot k=n^3\cdot(n-1)-\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^3$
$=n^3(n-1) - \left(\frac{n(n-1)}{2}\right)^2=\frac{n^2(n-1)(3n+1)}{4}$

Найдём для какого n начнёт выполнятся это неравенство

при n=7 сумма равна 1617
при n=8 2800

сколько ещё членов можно добавить

$\frac{2011-1617}{7}=56,28...$

значит на 57 дополнительном слагаемом неравенство начнёт выполнятся

x\ge(7^3-1)+57