Поиск доверительного интерв.: выбор статистики (теор. вер.)

[Alfucio]

Здравствуйте!

Пытаюсь решить задачу по теории вероятностей и математической статистике:
Заданы: среднее квадратическое отклонение $\sigma $ нормально распределенной случайной величины $X$, выборочная дисперсия $\overline x $. Требуется найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания a с заданной надежностью 0,095.

Подскажите, пожалуйста:
1) Какую статистику можно использовать? (просто для всех статистик, о которых я слышал и которые здесь можно применить, как мне кажется, требуется знать размер выборки),
2) Разумно ли задана надежность? Правильно ли я понимаю, что обычно задается надежность 0,95 или 0,9 и т. п., или я неверно трактую понятие заданной надежностью?

Заранее спасибо!

[--mS--]

Alfucio в сообщении #433010 писал(а):

Подскажите, пожалуйста:
1) Какую статистику можно использовать? (просто для всех статистик, о которых я слышал и которые здесь можно применить, как мне кажется, требуется знать размер выборки),
2) Разумно ли задана надежность? Правильно ли я понимаю, что обычно задается надежность 0,95 или 0,9 и т. п., или я неверно трактую понятие заданной надежностью?

Размер выборки необходим в любом случае. Что же до надёжности, то формально $0,095$ ничему не противоречит. А фактически это, наверняка, такая же опечатка, как "выборочная дисперсия $\overline x$". Видимо, это не условие задачи, а чьё-то переложение из серии "Мойша напел"? А в правильном условии, наверное, всё есть.

[мат-ламер]

А для чего нужен размер выборки? И для чего нужна статистика? (В смысле - какую статистику использовать?). Не надо переусложнять.

[ewert]

Alfucio в сообщении #433010 писал(а):

Заданы: среднее квадратическое отклонение $\sigma $ нормально распределенной случайной величины $X$, выборочная дисперсия $\overline x $.

Наверняка имелось в виду "выборочное среднее $\overline x $". Тогда это простейшая задача: пересчитайте известную сигму для самой величины в сигму для выборочного среднего (с учётом объёма выборки) и воспользуйтесь тем, что выборочное среднее не смещено и распределено также нормально. Или просто найдите готовую формулу, она широко гуляет.

[мат-ламер]

Извиняюсь, прочёл условие ещё раз - доверительные интервалы для оценки матожидания требовалось, а не доверительные интервалы для матожидания. Тогда - где это оценка? Если среднее - то размер доверительного интервала обратно пропорционален числу наблюдений.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #433120 писал(а):

размер доверительного интервала обратно пропорционален числу наблюдений.

Ну нет, естественно.

[мат-ламер]

Извиняюсь, корню от числа наблюдений.

-- Вс апр 10, 2011 12:27:27 --

В формуле дисперсии среднего присутствует дисперсия самой случайной величины. Если туда вместо этой дисперсии подставить её оценку (а она дана в условии), то получим оценку дисперсии среднего. Но будет ли эта оценка наилучшей? По крайней мере, асимптотически состоятельной наверное будет.

-- Вс апр 10, 2011 12:36:19 --

Насчёт того, какую статистику использовать - то, наверное, хи-квадрат, поскольку в формуле оценки дисперсии присутствует сумма квадратов из выборки.

[--mS--]

ewert в сообщении #433119 писал(а):

(с учётом объёма выборки)

См. вопрос. Как раз объём и не задан, в этом и был вопрос.

-- Вс апр 10, 2011 21:56:17 --

мат-ламер в сообщении #433125 писал(а):

В формуле дисперсии среднего присутствует дисперсия самой случайной величины. Если туда вместо этой дисперсии подставить её оценку (а она дана в условии), то получим оценку дисперсии среднего. Но будет ли эта оценка наилучшей? По крайней мере, асимптотически состоятельной наверное будет.

-- Вс апр 10, 2011 12:36:19 --

Насчёт того, какую статистику использовать - то, наверное, хи-квадрат, поскольку в формуле оценки дисперсии присутствует сумма квадратов из выборки.

Я надеюсь, что ТС достаточно разумен, чтобы проигнорировать всю эту бессмыслицу. Дана не оценка, а дисперсия. Хи-квадрат тут ни при чём. Доверительные интервалы (это к сообщению выше) бывают для параметра, а не для случайной величины. А слова "доверительный интервал для оценки матожидания" следует читать как "доверительный интервал, являющийся доверительной оценкой матожидания".

[мат-ламер]

Alfucio в сообщении #433010 писал(а):

Здравствуйте!

Пытаюсь решить задачу по теории вероятностей и математической статистике:
Заданы: среднее квадратическое отклонение $\sigma $ нормально распределенной случайной величины $X$, выборочная дисперсия $\overline x $.

Я третий раз читаю и пытаюсь понять (каждый раз по-новому), что дано. И всё равно не понимаю - что дано на самом деле. Если задано среднее квадратическое отклонение случайной величины , так что тут решать - и так всё понятно. (Это я так прочёл в первый раз). Во второй раз я прочёл, что задана выборочная дисперсия. Я понял, что есть оценка дисперсии. Про первую фразу я уже забыл - действительно, если задана ср.кв. отклонение, то зачем ещё оценка дисперсии. Теперь, как подсказали в первом посту, на самом деле задана дисперсия сл. величины. Вообщем, условие я так и не понял. Поэтому на мои посты не обращайте внимание.

[Alfucio]

Здравствуйте!

Во-первых, прощу прощения, ибо там действительно дано «выборочное среднее», то есть задача формулируется на самом деле следующим образом:

Заданы: среднее квадратическое отклонение $\sigma $ нормально распределенной случайной величины $X$, выборочное среднее $\overline x $. Требуется найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания a с заданной надежностью 0,095.

Извините, пожалуйста, за глупую описку, которое дополнительно усложнило условие задачи... В остальном же это реальное условие задачи, и поэтому меня, как и некоторых других в обсуждении, смущает заданная надежность и отсутствие информации об объеме выборки. Просто я хотел уточнить, правильно ли я понимаю понятие заданной надежности, и правильно ли я помню, что простой (стандартной) статистики для определения доверительного интервала для неизвестного математического ожидания при данной дисперсии, но не при данном объеме выборке, не существует.

Статистику я планировал использовать из теоремы Фишера:

$$\[\frac{{\overline x - a}}{{\frac{\sigma }{{\sqrt n }}}} \in N(0;1)\]$$

Исходя из нее просто получается доверительный интервал.

Таким образом, наверное, я решение задачи оформлю с доверительным интервалом, где будет параметр — объем выборки. Спасибо большое! И еще раз извините, пожалуйста, за описку...

[ewert]

--mS-- в сообщении #433279 писал(а):

См. вопрос. Как раз объём и не задан, в этом и был вопрос.

Объём безусловно задан, иначе задача просто бессмысленна, см. сообщение некоего(-ей) --mS-- несколько выше.

мат-ламер в сообщении #433288 писал(а):

И всё равно не понимаю - что дано на самом деле.

А что тут понимать. Задача -- шаблонна. Требуется найти доверительный интервал для истинного матожидания при условии, что известна истинная дисперсия (как было сказано в начальном же посте) и выборочное среднее (про выборочную дисперсию в том посте уж совсем откровенная очипятка -- из двух дисперсий, неважно какой природы, никакой каши не сваришь ничего среднего уж точно не выжмешь, опять же не важно, в каком смысле среднего). Ну и, разумеется, задан объём выборки -- иначе любые разговоры о доверительных интервалах бессмысленны.

В общем, формулировка, приведённая топикстартером, ни в какие ворота не лезет, конечно; однако домыслить её до хоть чего-то разумного -- можно лишь единственным образом. Я, во всяком случае, альтернатив в этом отношении не вижу.

-- Вс апр 10, 2011 20:28:45 --

Alfucio в сообщении #433324 писал(а):

правильно ли я понимаю понятие заданной надежности, и правильно ли я помню, что простой (стандартной) статистики для определения доверительного интервала для неизвестного математического ожидания при данной дисперсии, но не при данном объеме выборке, не существует.

Надёжность Вы (точнее, Ваши задачкодатели) понимаете точно неправильно, и Вам об этом уже говорили, да и Вы сами явно и без нас это прекрасно понимаете -- нолик там вставлен откровенно по недоразумению (т.е. хотя и с ним задачка формально осмысленна, но на практике никто столь фактически бессмысленных числовых данных не предлагает).

Объём выборки Вам по условию безусловно дан. Или Вы его не заметили, или начальники лопухнулись, или я вообще не понимаю, о чём тут речь.

[--mS--]

Да не за что тут, право, извиняться, понятно же, что оговорка про дисперсию "по Фрейду"
Кстати, а выборочное среднее - оно численно дано? Или только в виде символа $\overline x$? Если только в таком виде, то тогда какая разница - дан объём выборки, не дан? Параметром больше, параметром меньше...

[Alfucio]

$\overline x$, $\sigma$ заданы численно :).

ewert в сообщении #433330 писал(а):

Объём выборки Вам по условию безусловно дан. Или Вы его не заметили, или начальники лопухнулись, или я вообще не понимаю, о чём тут речь.

К сожалению, не дан (специально просмотрел все листки задания много раз, благо их немного :) ). Но получается, что это нехватка условий, так как действительно, как многие уже здесь отмечали, без данного $n$ задача теряет смысл.

Благодарю за помощь всех участников дискуссии!