Система иррациональных уравнений

[dnoskov]

Здравствуйте!

$ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{7x+y}+\sqrt{x+y}=6 \quad (1)\\ \sqrt{x+y}-y+x=2 \quad (2) \end{array} \right. $

И вот мне сразу же бросается в глаза то, что можно вычесть одно из другого и должно, вроде стать проще.
Так и делаем: $(1)-(2) \Rightarrow \sqrt{7x+y}+y-x=4$
$\sqrt{7x+y}^2=(x-y+4)^2$
$7x+y=x^2+y^2+16-2xy+8x-8y$
$x^2-2xy+y^2+x-9y+16=0$
$x^2-x(2y-1)+y^2-9y+16=0$
Получаем: $x=\frac{2y-1\pm \sqrt{4y^2-4y+1-4y^2+36y-64}}{2}=\frac{2y-1\pm \sqrt{32y-63}}{2}$.... (если выражать $y$, то получится опять же нечто подобное)

Ладно, думаю я, тогда в лоб! Возведём всё в квдрат! (начиная со второго, разумеется... для простоты)
Итак:
$(2) \Rightarrow \sqrt{x+y}^2=(y-x+2)^2$
$x+y=y^2+x^2+4-2xy+4y-4x$
$x^2-x(2y+5)+y^2+3y+4=0$
$x=\frac{2y+5\pm \sqrt{8y+9}}{2}$... т.е. тоже ничего хорошего.
Тогда первое:
$(1) \Rightarrow (\sqrt{7x+y}+\sqrt{x+y})^2=36$
$7x+y+2\sqrt{(7x+y)(x+y)}+x+y=36$
$\sqrt{(7x+y)(x+y)}^2=(18-4x-y)^2$
$7x^2+8xy+y^2=324+16x^2+y^2-144x-36y-8xy$
$9x^2-16xy-144x-36y+324=0$
$x=\frac{8y+72\pm 8\sqrt{y^2+18y+75}}{9}$.... тоже не катит (не нравится)

Всё это наводит меня на мысль о существовании какой-нибудь интересной замены или какого ещё трюка. К слову, я пробовал и делить: $\frac{(1)}{(2)}$, но там всё тоже довольно грустно. А между тем, решение есть (его просто видно), это $(2;2)$. Так как же решить эту систему? И как решать такие системы вообще?

[ИСН]

Может, заменить на $ \left| \begin{array}{l} \sqrt{7x+y}=a \\ \sqrt{x+y}=b \end{array} \right. $

[dnoskov]

ИСН
А что тогда делать с $-(y-x)$ во $(2)$?

[spaits]

ИСН в сообщении #433298 писал(а):

Может, заменить на $ \left| \begin{array}{l} \sqrt{7x+y}=a \\ \sqrt{x+y}=b \end{array} \right. $

Да, и явная опечатка в условии задачи. Вместо плюса во втором упавнении надо минус.

[ИСН]

Сухари сушить! ©
Выражать через новые переменные, что же ещё.

[MrDindows]

spaits в сообщении #433302 писал(а):

ИСН в сообщении #433298 писал(а):

Может, заменить на $ \left| \begin{array}{l} \sqrt{7x+y}=a \\ \sqrt{x+y}=b \end{array} \right. $

Да, и явная опечатка в условии задачи. Вместо плюса во втором упавнении надо минус.

Нет там никакой опечатки)

[dnoskov]

ИСН
Благодарю от души! Всё понял теперь.

Ведь Вы это имели в виду: $(2) \Rightarrow b+\frac{a^2-4b^2}{3}=2$

[dnoskov]

А вот ещё система:

$ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x+4y}+2\sqrt{x-4y}=5 \quad (1)\\ \sqrt{x^2-4y^2}=2 \quad (2) \end{array} \right. $

Пусть $a=\sqrt{x+4y}$, $b=\sqrt{x-4y}$, тогда:
$a^2=x+4y$, $b^2=x-4y$
$\frac{a^2-b^2}{4}=2y$, $\frac{a^2+b^2}{2}=x$, получаем:

$ \left\{ \begin{array}{l} a+2b=5 \quad (1)\\ \sqrt{(\frac{a^2+b^2}{2})^2-(\frac{a^2-b^2}{4})^2}=2 \quad (2) \end{array} \right. $

И приходим вот к чему: $a=\pm \sqrt{\frac{-10b^2\pm 8\sqrt{b^4+12}}{6}}$ ($b$ выражать не стал)

Вольфрам альфа говорит, что нет у сей системы решения (имеются в виду, конечно, вещественные решения) и это надвигает на мысль о том, что в этой системе-таки опечатка, причём одна из двух на выбор. Но если намеренно дана такая система, то существует ли какой-нибудь адекватный способ дойти до того, что решения у неё нету? Я пробовал разные способы решения, но ни один не предложил ничего удобного.

[MrDindows]

dnoskov в сообщении #433675 писал(а):

А вот ещё система:

$ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x+4y}+2\sqrt{x-4y}=5 \quad (1)\\ \sqrt{x^2-4y^2}=2 \quad (2) \end{array} \right. $

Пусть $a=\sqrt{x+4y}$, $b=\sqrt{x-4y}$, тогда:
$a^2=x+4y$, $b^2=x-4y$
$\frac{a^2-b^2}{4}=2y$, $\frac{a^2+b^2}{2}=x$, получаем:

$ \left\{ \begin{array}{l} a+2b=5 \quad (1)\\ \sqrt{(\frac{a^2+b^2}{2})^2-(\frac{a^2-b^2}{4})^2}=2 \quad (2) \end{array} \right. $

И приходим вот к чему: $a=\pm \sqrt{\frac{-10b^2\pm 8\sqrt{b^4+12}}{6}}$ ($b$ выражать не стал)

Вольфрам альфа говорит, что нет у сей системы решения (имеются в виду, конечно, вещественные решения) и это надвигает на мысль о том, что в этой системе-таки опечатка, причём одна из двух на выбор. Но если намеренно дана такая система, то существует ли какой-нибудь адекватный способ дойти до того, что решения у неё нету? Я пробовал разные способы решения, но ни один не предложил ничего удобного.

Если бы было так:
$ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x+4y}+2\sqrt{x-4y}=5 \quad (1)\\ \sqrt{x^2-(4y)^2}=2 \quad (2) \end{array} \right. $
Всё было б просто супер=)

[dnoskov]

MrDindows
Ага. Или так.
$ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x+2y}+2\sqrt{x-2y}=5 \quad (1)\\ \sqrt{x^2-4y^2}=2 \quad (2) \end{array} \right. $
В этом случае, кстати, было бы точно так же, как и в Вашем. Это и есть две гипотетические опечатки.

[Алексей К.]

dnoskov в сообщении #433675 писал(а):

то существует ли какой-нибудь адекватный способ дойти до того, что решения у неё нету?

Можно попробовать доказать, что $+\sqrt{\dfrac{-10b^2\text{~\huge{+}~} 8\sqrt{b^4+12}}{6}}<5-2b$ (в первом квадранте). Кривулька везде пониже прямой, и они не собираются пересекаться.

[dnoskov]

Алексей К.

Цитата:

Можно попробовать доказать, что $+\sqrt{\dfrac{-10b^2\text{\Huge{+}} 8\sqrt{b^4+12}}{6}}<5-2b$

Действительно (в смысле можно так попробовать), только это уже тянет на отдельную задачу (а таковой она и является (в том случае, если в задании опечатка)).

Вобщем, благодарю за участие.

[dnoskov]

Ну и, в продолжение уже, казалось, законченной темы, привожу первый из двух венцов творения иррациональной мысли (второй я рассчитываю решить самостоятельно и поэтому не привожу):

$ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{y}-4+x=\frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{x+y-9}+2}{\sqrt{y} -x+4} \quad (1)\\ 9+(y-5)^2=x+y \quad (2) \end{array} \right. $

Бросается в глаза разность квадратов. Делаем:
$(1) \Rightarrow y-(x-4)^2=\sqrt{x+y}+\sqrt{x+y-9}+2$, с учётом $(2) \Rightarrow 3-(x-4)^2=\sqrt{9+(y-5)^2}$. Так что получаем:
$ \left\{ \begin{array}{l} 3-(x-4)^2=\sqrt{9+(y-5)^2} \quad (3)\\ 9+(y-5)^2=x+y \quad (2) \end{array} \right. $, делаем очевидную (теперь, благодаря ИСНу) замену: $a=x-4$, $b=y-5$. Получаем:
$\left\{ \begin{array}{l} a^4-6a^2=b^2 \quad (3)\\ b^2=a+b \quad (2) \end{array} \right.$. Однако дальше поезд прогресса буксует, ибо поезд не видит здесь ни симметричности, ни однородности, ни вариантов с заменами, ни вариантов с алгебраическими действиями над уравнениями, входящими в состав системы, а от многочленов 6-й, а то и 8-й степени поезду как-то не по себе. Вот, собственно, и мысль приходит, что изначально путь решения был каким-то неверным. Вопрос: где я ошибаюсь? или чего я делаю нетак? или как тут надо делать?

[ИСН]

Решения там мерзкие (кроме нулевого), так что выбирайте из трёх вариантов:
- ошибка где-то в арифметике (но тогда бы вряд ли оно свернулось так красиво);
- ошибка где-то в условии (но... см. выше);
- "значит, такие теперь стали на фабрике делать".

[Cute]

По поводу системы № 1.

$\left\{ \begin{gathered}\sqrt {7x + y} + \sqrt {x + y} = 6, \hfill \\\sqrt {x + y} - y + x = 2 \hfill \\\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\sqrt {6x + \left( {x + y} \right)} + \sqrt {x + y} = 6, \hfill \\\sqrt {x + y} - \left( {x + y} \right) + 2x = 2. \hfill \\\end{gathered} \right$.
Замена: $a = \sqrt {x + y} ,\;\left( * \right), где a \geqslant 0$
Тогда $\left\{ \begin{gathered}\sqrt {6x + a^2 } + a = 6,\;\left( 1 \right) \hfill \\a - a^2 + 2x = 2,\;\left( 2 \right) \hfill \\\end{gathered} \right$
$2x = a^2 - a + 2,\;\left( 3 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \sqrt {4a^2 - 3a + 6} + a = 6 \Leftrightarrow \sqrt {4a^2 - 3a + 6} = 6 - a \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}a=2,\hfill \\a = - 5\hfill \\\end{gathered} \right$
$a = - 5$ не удовлетворяет условию $a \geqslant 0$
$a = 2\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2 .\left. \begin{gathered} x = 2, \hfill \\a = 2 \hfill \\\end{gathered} \right|\mathop \Rightarrow \limits^{\left( * \right)} 2 = \sqrt {2 + y}\Leftrightarrow y = 2$
Ответ: $\left( {2;2} \right)$.

По поводу системы № 2.

$\left\{ \begin{gathered}\sqrt {x + 4y} + 2\sqrt {x - 4y} = 5, \hfill \\\sqrt {x^2 - 4y^2 } = 2 \hfill \\\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\sqrt {x + 4y} + 2\sqrt {x - 4y} = 5,\;\left( 1 \right) \hfill \\\left( {\frac{x}{2}} \right)^2 - y^2 = 1. \hfill \\\end{gathered} \right$
Замена: $\left\{ \begin{gathered}\frac{x}{2} = cht, \hfill \\y = sht \hfill \\\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}x = 2cht, \hfill \\y = sht. \hfill \\\end{gathered} \right$
Тогда уравнение $\left( 1 \right)$ примет вид $\sqrt {2cht + 4sht} + 2\sqrt {2cht - 4sht} = 5 \Leftrightarrow \sqrt {3e^{2t} - 1} + 2\sqrt {3 - e^{2t} } = 5\sqrt {e^t } ,\;\left( 2 \right)$.
Замена: $z = e^t$ , $z > 0$.
Тогда уравнение $\left( 2 \right)$ примет вид
$\sqrt {3z^2 - 1} + 2\sqrt {3 - z^2 } = 5\sqrt z ,\;\left( 3 \right)$
Докажем, что уравнение $\left( 3 \right)$ не имеет действительных корней.
Область определения уравнения $\left( 3 \right)$ - множество $ D = \left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }};\sqrt 3 } \right]$.
На множестве $ D$ уравнение равносильно такому:
$2\sqrt {12z^2 - 4} \cdot \sqrt {3 - z^2 } = z^2 + 25z - 1,\;\left( 4 \right)$.
Но $ \forall z \in D:\;2\sqrt {12z^2 - 4} \cdot \sqrt {3 - z^2 } \leqslant 12z^2 - 4 + 3-z^2 = 11z^2 - 1 < z^2 + 25z - 11$
(здесь мы применили неравенство Коши)
Следовательно, уравнение $\left( 4 \right)$, а значит и уравнения $\left( 3 \right)$ и $\left( 2 \right)$ не имеют действительных корней. Отсюда вытекает, что исходная система не имеет действительных решений в области действительных чисел.
Ответ: $\emptyset$ .