Как решить интеграл?

[Sega611]

Здравствуйте. Как решить этот интеграл?
$\int e^{it}\sin t dt$

Решал с помощью формулы $\int udv=uv-\int vdu$, но у меня в конце получается исходный интеграл .

1 попытка
$\int e^{it}\sin t dt=\left | \begin{array}{cc} u=e^{it} & dv=\sin tdt \\ du=ie^{it}dt & v=-\cos t \end{array} \right | =-e^{it}\cos t+i\int e^{it}\cos tdt=\left | \begin{array}{cc} u=e^{it} & dv=\cos tdt \\ du=ie^{it}dt & v=\sin t \end{array} \right | =-e^{it}\cos t+ie^{it}\sin t+\int e^{it}\sin t dt$

2 попытка
$\int e^{it}\sin t dt=\left | \begin{array}{cc} u=\sin t & dv=e^{it}dt \\ du=\cos tdt & v=-ie^{it} \end{array} \right | =-ie^{it}\sin t+i\int e^{it}\cos tdt=\left | \begin{array}{cc} u=\cos t & dv=e^{it}dt \\ du=-\sin tdt & v=-ie^{it} \end{array} \right | =-ie^{it}\sin t+e^{it}\cos t+\int e^{it}\sin t dt$

[Утундрий]

Sega611
$\[\sin t = ?\]$

(подсказка)

Эйлер

[Sega611]

Спасибо.
$\sin t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$
$\int e^{it}\sin tdt=-\frac {1}{4}e^{2it}-\frac{it}{2}$

[Алексей К.]

Sega611 в сообщении #432967 писал(а):

$\int e^{it}\sin tdt=-\frac {1}{4}e^{2it}-\frac{it}{2}$

Проверил Ваш результат дифференцированием — не сошлось, как не корячился.
Попробовал сам проинтегрировать, получилось $\int e^{it}\sin tdt=-\frac {1}{4}e^{2it}{\color{blue}+}\frac{it}{2}-{\color{blue}\frac{17\pi}{\sqrt{e}}}$. И при дифференцировании сходится.

[ewert]

Алексей К. в сообщении #432991 писал(а):

$-{\color{blue}\frac{17\pi}{\sqrt{e}}}$.

Нехорошо так шутить.

[Sega611]

Ой, ошибка. Правильно так будет:
$-\frac{1}{4}e^{2it}+\frac{it}{2}$
Проверка:

$$\left ( -\frac{1}{4}e^{2it}+\frac{it}{2} \right ) '=-\frac{1}{4}2ie^{2it}+\frac{i}{2}=\frac{1}{2i} \frac{1}{2i} 2ie^{2it}-\frac{1}{2i}=\frac{1}{2i}e^{2it}-\frac{1}{2i}=\frac{1}{2i}e^{it}(e^{it}-e^{-it})=e^{it}\sin t$$

[Алексей К.]

Sega611,

если Вы тоже думаете, что я шутил, то уверяю Вас, что я не шутил.

[ewert]

(Оффтоп)

Алексей К. в сообщении #433024 писал(а):

если Вы тоже думаете, что я шутил, то уверяю Вас, что я не шутил.

Ну хорошо, тогда нехорошо так издеваться.

[Sega611]

Алексей К., я не считаю, что вы шутите, т.к. у меня мало знаний. Не могли бы вы показать, как получилась константа?

[Алексей К.]

Любая константа не испортит интеграл. У меня реально получилось кажется -1/4. Я её, естественно, отбросил, и придумал другую. Чем вызвал высочайший гнев.
Вы же видели наверняка некое +С в выражениях для неопределённых интегралов. Когда Вы перейдёте к дифф. уравнениям, Вы этой константой будете активно пользоваться.

Об этом не следует забывать, и с точки зрения математики, и с точки зрения оценки за контрольную.

-- 10 апр 2011, 10:44 --

Например, интегрируя некую функцию $f(x)$ одним способом, Вы получите $\ln 3|x|$. Другой способ даст $\ln \frac {|x|}2$. Обе первообразные правильны (убедитесь). Только вот ответ в задачнике другой (третий): $\ln|x|+C$.

[Sega611]

Спасибо