Сходимость ряда

[bundos]

Исследовать ряд на сходимость $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n; a_n=S-S_n$, $S$- сумма ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$

(Оффтоп)

Делал так: Из теоремы Штольца следует, что $S-S_n \sim \frac1n$, значит исходный ряд расходится.
А как доказать, что $S-S_n \sim \frac1n$ используя определения интегральной суммы?

[SpBTimes]

А вы уверены, что расходится то?
Ряд с общим членом $a_{n} = \frac{1}{n^2}$ сходится.
А если составить второй ряд с общим членом $a_{n} = S - S_{n}$, то начиная с какого-то номера $|S - S_n| \rightarrow 0$, так как исходный ряд сходится. Значит и данный сходится

[ewert]

bundos в сообщении #433050 писал(а):

А как доказать, что $S-S_n \sim \frac1n$ используя определения интегральной суммы?

Вспомнить доказательство интегрального признака сходимости. Там остаток ряда оценивается через интеграл двусторонне -- и сверху, и снизу. Вот и выберите оценку в нужную Вам сторону (для доказательства-то ведь достаточно оценки, вовсе не обязательно получать асимптотику).

[bundos]

ewert в сообщении #433064 писал(а):

Вспомнить доказательство интегрального признака сходимости. Там остаток ряда оценивается через интеграл двусторонне -- и сверху, и снизу. Вот и выберите оценку в нужную Вам сторону (для доказательства-то ведь достаточно оценки, вовсе не обязательно получать асимптотику).

(Оффтоп)

А вообще, как асимптотику $a_n$ получить используя определения интегральной суммы? И можно ли вообще её таким способом получить?

[ewert]

bundos в сообщении #433161 писал(а):

А вообще, как асимптотику $a_n$ получить используя определения интегральной суммы?

Для $a_n$ -- никак не получить, разумеется, а вот для хвоста ряда -- внимательно читая доказательство интегрального признака сходимости. Там говорится примерно следующее:

$\int\limits_{n}^{+\infty}a(k)\,dk\leqslant\sum\limits_{k=n}^{\infty}a_k\leqslant\int\limits_{n+1}^{+\infty}a(k)\,dk.$

И если члены ряда убывают достаточно медленно (грубо говоря, медленнее любой геометрической прогрессии), то разность между левым и правым интегралами много меньше каждого из них. Тогда эти интегралы эквивалентны друг другу и сумме, стоящей посерёдке.

Только эта сумма не является интегральной для тех интегралов. Её обычно можно превратить в интегральную соответствующим перемасштабированием, но это никому не нужная морока из-за проблем с несобственностью интегралов.