разные задачи на элементарную вероятность

[Двоечник]

Уважаемые форумчане!
Помогите разобраться и проверить меня. Я хочу именно понять как НАДО решать подобные задачи, а не просто научиться копировать ответы.
Некоторые я смог решить сам, а некоторые не знаю как решать.

1. В каждом из следующих опытов найдите количество возможных исходов:
a)   Подбрасывание двух монет
b)   Подбрасывание двух кубиков
c)   Подбрасывание монеты и кубика
В каких опытах все исходы равновозможны?

В данной задаче нужно учитывать различимы ли исходы подбрасывания..
Зададимся условием, что все исходы - различимы (то есть, исходы «орел-решка» и «решка-орел» – это два различных исхода) или опыты последовательны:
a) 4 исхода поскольку каждая монета имеет 2 стороны.
p1 – вероятность исхода подбрасывания первой монеты = 1/2
p2 – вероятность исхода подбрасывания второй монеты = 1/2

b) 36 исходов поскольку каждый куб имеет 6 сторон.
p1 – вероятность исхода подбрасывания куба = 1/6
p2 – вероятность исхода подбрасывания куба = 1/6

c) 12 исходов поскольку монета имеет 2 стороны, а куб 6.
p1 – вероятность исхода подбрасывания монеты = 1/2
p2 – вероятность исхода подбрасывания куба = 1/6

Ответ: все исходы равновозможны в опытах a, b (у них p1=p2) для случая различимых исходов.

Теперь рассмотрим случаи когда исходы неразличимы и монеты/кубики подбрасываются одновременно. Тогда наблюдатель не может отличить исходы «орел-решка» и «решка-орел» (это один исход).
а) 3 исхода(«орел-решка», «орел-орел», «решка-решка»).
p1 – вероятность выпадения «орел-решка» = 1/2
p2 – вероятность выпадения «орел-орел» = 1/4
p3 – вероятность выпадения «решка-решка» = 1/4
То есть исходы неравновозможны т.к. их вероятности не одинаковы.
b) 21 исход (то есть, например, исход «2-1» на двух кубиках не различим от исхода «1-2»).
То есть исходы неравновозможны.
c) 12 исходов, результаты подбрасывания монеты и кубиков различимы, вероятности исходов равны:
p=1/2 * 1/6 = 1/12.
То есть исходы равновозможны.

Ответ: все исходы равновозможны в опыте c (вероятности исходов равны) для случая неразличимых исходов (то есть «орел-решка» и «решка-орел» - считать одним исходом как и выпадение результатов «2-1» и «1-2» на кубиках).

2. Найдите вероятность того, что снова получится то же самое слово, если перемешать и выложить в ряд буквы слова РАМА

Я воспользовался формулой нахождения количества перестановок, которое можно сделать из букв слова: Р(1,2,1)=4!/1!2!1!=12. по классическому определению вероятность равна 1/12.

3. Из отрезка    [0;1] наудачу выбирают два числа    x и  y  Какова вероятность, что наибольшее из них больше 1/2 ? Наименьшее из них больше 1/2?

4. Из начала координат в случайном направлении выпускается луч. Найдите вероятность, что он пройдёт через круг радиуса 5 с центром  в точке (6;8)

Геометрически определил, что угол между проходящими из начала координат касательными к окружности составляет 60 градусов [это нужно нарисовать, затем при помощи тригонометрических функций вывести]. Теперь найдем вероятность того, что луч попадет в нужный нам интервал. Эта вероятность равна 60/360=1/6. Ответ: 1/6.

5. Какое минимальное количество монет надо взять, чтобы вероятность получения хотя бы одного «орла» при подбрасывании была больше 0,99?

Найдем вероятность того, что при подбрасывании n монет, орел не выпадет ни разу. Это событие противоположно тому, что в условии. Вероятность его появления должна быть меньше q, где q=1-p=1-0,99=0,01. Итак, всего у нас возможны 2 в степени n событий. Из них успешных - одно. Значит, вероятность того что орел не выпадет ни разу p=1/(2^n). Теперь нам нужно подобрать такое минимальное n, при котором p < q. то есть 1/(2^n) < 0.01:
n=1, p=0.5
n=2, p=0.25
n=3, p=0.125
n=4, p=0.00625
n=5, p=0.03
n=6, p=0.016
n=7, p=0.008
Ответ: нужно взять как минимум семь монет, чтобы вероятность получения хотя бы одного "орла" при подбрасывании была больше 0,99.

Правильно?

6. В Ящике 4 детали- две исправленные и две бракованные. Из Ящика наугад вынимают по одной детали, пока не извлекут все бракованные. Сколько деталей , вероятнее всего , будет при этом извлечено?

Обозначим:
A – событие извлечения исправленной детали
В – событие извлечения бракованной детали
Извлечение двух деталей равносильно последовательному их извлечению (упорядоченная выборка без возвращения). Выпишем все возможные исходы извлечения всех четырех деталей и их вероятности:
1. ВВ, вероятность: р=2/4*1/3=2/12=1/6.
2. ВАВ, вероятность: p=2/4*2/3*1/2=4/24=1/6.
3. ВААВ, вероятность: p=2/4*2/3*1/2*1/1=4/24=1/6.
4. АВВ, вероятность: р=2/4*2/3*1/2=4/24=1/6
5. AABB, вероятность: p=2/4*2/3*1/2*1/1=4/24=1/6
6. ABAB, вероятность: p=2/4*2/3*1/2*1/1=4/24=1/6
В каждом случае вероятность одинакова и равна 1/6.
Ответ: вероятнее всего, будет извлечено 4 детали.

7. В урне10 шаров. Вероятность, что среди двух одновременно вынутых из неё шаров не будет ни одного белого, равна  1/15 .Сколько в урне шаров?

Извлечение двух шаров равносильно последовательному их извлечению. Обозначим через А – появление цветного шара при первом его извлечении, а через B – при втором; Х – количество не белых (цветных) шаров, которые изначально были в урне, а вероятность того, что оба вынутых шара не белые - P(AB)=1/15.
Событие, состоящее в извлечении двух цветных шаров, является совмещением событий А и В. Пользуясь теоремой умножения вероятностей имеем: P(AB)=P(A)*Pa(B)=(x/10)*(x-1)/(10-1),
то есть решив уравнение относительно Х, получим: Х=3.
То есть в урне изначально было 3 цветных (не белых) шара, и 7 белых

8. У маленькой Вари две одинаковые пары варежек. Уходя на улицу, она наугад берёт две варежки. Какова вероятность того, что они окажутся парными ( т.е. на разные руки)

Выпишем возможные исходы - их 6. Из них благоприятных - 4. Значит, маленькой Варе повезло Вероятность равна 2/3.
Ответ: 2/3.
Правильно?

9. Два стрелка стреляли по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка –0,7, для другого –0,6. Какова вероятность, что 
а) Оба промахнутся        б) оба попадут         в) хотя бы один попадёт   г)хотя бы один промахнётся

Обозначим вероятности независимых событий - попаданий: p1=0.7, p2=0.6; промахов: q1=0.3, q2=0.4.
а) Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
p=q1*q2=0.3*0.4=0.12.
б) Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
p=p1*p2=0,7*0,6=0,42.
в) Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий (попаданий) будет равна:
р=1-q1q2=1-0,3*0,4=0,88
в) Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий (промахов) будет равна:
р=1-p1p2 =1-0,7*0,6=0,58

Правильно ли?

10. У случайного прохожего выясняют день его рождения ( год не учитывается) Сколько элементарных исходов в этом опыта? Рассмотрим события:
А=   {он родился в январе}
В=    {он родился в апреле}
C=      {он родился 30 числа}
D=      { он родился зимой}
Найдите количество элементарных исходов в каждом событии
а)  (AПC)UB       б)АП(СUB)      в)(AUB)П(СUD)   г)  AUBUCUD

Количество элементарных исходов в событиях:
А=31 (родился в период с 1-го по 31-е января)
B=30 (родился в период с 1-го по 30-е апреля)
C=11 (родился 30-го числа любого месяца)
D=31+31+28=90 (в период с 1-го декабря по 28-е февраля) или 91 для високосного года
а) то есть прохожий родился (30 января) + в апреле (30 дней). То есть 1+30=31 исход.
б) то есть прохожий родился (1-31 января И (30 числа + 1-30 апреля)). То есть 30 января. Ответ: 1 исход.
в) то есть прохожий родился (1-31 января+1-30 апреля И 30 числа + зимой)=1-31 января + 30 апреля = 32 исхода. Ответ: 32 исхода.
г) то есть прохожий родился (1-31 января + 1-30 апреля + 30 числа + зимой) = 31 + 30 + (11-3) + (31 + 28)=128.
Ответ: 128 исходов (либо 129 если год високосный).

Верно?

11. В таблице приведены результаты последнего тиража лотереи, в которой нужно было правильно угадать 6 номеров из 49
Количество угаданных номеров       0   1   2   3     4     5     6
Количество карточек                 5400  4750   1525   303   20   2   0
Выигрыш выдавался за 3 и более угаданных номеров
a)   Оцените по этим данным вероятность остаться без выигрыша
b)   Найдите точное значение этой вероятности и сравните её с результатом, полученным в пункте а)

12. Случайный опыт состоит в выяснении пола детей в семьях с тремя детьми. Сколько возможных исходов у этого опыта? Придумайте, как их можно закодировать. Как вы думаете, можно ли считать их равновозможными? Запишите каждое из следующих событий в виде множества благоприятных исходов:
 А= {все дети в семье – мальчики}
   В=     {все дети в семье имеют одинаковый пол}
   С=     { первенец в семье – мальчик}
    D=    {младший ребёнок в семье – девочка}

В задаче опыт равносилен (с точки зрения элементарных исходов) последовательным бросаниям монеты три раза.

То есть получается, что возможны 2 в степени 3 = 8 исходов.
M1 - первый ребенок (первенец) мальчик
Д1 - первый ребенок (первенец) девочка
М2 - второй ребенок мальчик
Д2 - второй ребенок девочка
М3 - третий ребенок (младший) мальчик
Д3 - третий ребенок (младший) девочка
Теперь, записываем события:
A = М1М2М3 - 1 исход
B = М1М2М3 + Д1Д2Д3 - 2 исхода
C = М1М2М3+М1М2Д3+М1Д2Д3+М1Д2М3 - 4 исхода
D= Д1Д2Д3 + М1Д2Д3 + Д1М2Д3 + М1М2Д3 - 4 исхода

Натолкните вкратце на правильный путь - дальше я сам.
Спасибо.[/math]

[PAV]

Пронумеруйте, пожалуйста, свои задачи, иначе все запутаемся.

В задаче про монеты (5) найдите вероятность того, что при подбрасывании $n$ монет орел не выпадет ни разу. Это событие противоположно тому, что Вам нужно, т.е. надо подобрать $n$ так, чтобы эта вероятность была меньше 0.01.

Про числа на отрезке я не понял условия. Больше чего и меньше чего?

Добавлено спустя 3 минуты 14 секунд:

В задаче про монеты и кубики (1) нужно учитывать, различимы ли они или нет. Ваше решение подходит для различимых (или для случая, когда подбрасывания последовательны). А если неразличимы и одновременно - тогда нет.

В пункте с исходы также равновозможны.

Добавлено спустя 1 минуту 33 секунды:

задача 2 правильно

Добавлено спустя 2 минуты 26 секунд:

в задаче 4 нужно геометрически определить угловой интервал лучей, при котором происходит пересечение с окружностью, и нормировать на величину полного угла

Добавлено спустя 1 минуту 46 секунд:

в задаче 6 упорядоченная выборка без возвращения. Выпишите все возможные исходы извлечения всех четырех деталей и их вероятности.

Добавлено спустя 1 минуту 32 секунды:

в задаче 3 выпишите интересующие события через объединения и пересечения. Вероятность пересечения находится через произведение вероятностей (в силу независимости), в случае объединения перейдите к противоволожному событию - получите опять-таки пересечение

Добавлено спустя 1 минуту 15 секунд:

в задаче 7 пропущены цифры в условии

[Двоечник]

PAV писал(а):

Пронумеруйте, пожалуйста, свои задачи, иначе все запутаемся.

Сделал

Цитата:

В задаче про монеты (5) найдите вероятность того, что при подбрасывании $n$ монет орел не выпадет ни разу. Это событие противоположно тому, что Вам нужно, т.е. надо подобрать $n$ так, чтобы эта вероятность была меньше 0.01.

Спасибо за подсказку сделал. Проверьте, пожалуйста.

Цитата:

Про числа на отрезке я не понял условия. Больше чего и меньше чего?

Я пропустил при написании условий. Уже исправил.

Цитата:

Добавлено спустя 3 минуты 14 секунд:

Цитата:

В задаче про монеты и кубики (1) нужно учитывать, различимы ли они или нет. Ваше решение подходит для различимых (или для случая, когда подбрасывания последовательны). А если неразличимы и одновременно - тогда нет.

В пункте с исходы также равновозможны.

Хм.. вот это мне не совсем понятно... Вероятно, спрашивалось для случая одновременного подбрасывания. В таком случае какие из вариантов равновозможны?
Из учебника вычитал: "События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое."
А допустим если добавить еще условие: "Подбрасывание монеты, кнопки и кубика" - в таком случае исходы равновозможны? Я так понимаю, что нет.
Объясните, пожалуйста.

Цитата:

Добавлено спустя 1 минуту 33 секунды:

задача 2 правильно

Спасибо Я старался

Цитата:

Добавлено спустя 2 минуты 26 секунд:

в задаче 4 нужно геометрически определить угловой интервал лучей, при котором происходит пересечение с окружностью, и нормировать на величину полного угла

А в качестве величины полного угла брать 360 градусов? То есть нужно определить с какой вероятностью луч попадет в промежуток 60 градусов... Проверьте, пожалуйста, правильно ли я дал ответ.

Цитата:

Добавлено спустя 1 минуту 46 секунд:

в задаче 6 упорядоченная выборка без возвращения. Выпишите все возможные исходы извлечения всех четырех деталей и их вероятности.

Запутался

Цитата:

Добавлено спустя 1 минуту 32 секунды:

в задаче 3 выпишите интересующие события через объединения и пересечения. Вероятность пересечения находится через произведение вероятностей (в силу независимости), в случае объединения перейдите к противоволожному событию - получите опять-таки пересечение

Добавлено спустя 1 минуту 15 секунд:

в задаче 7 пропущены цифры в условии

[PAV]

Задача 5 неправильная, там не $n!$ событий.

[Двоечник]

PAV писал(а):

Задача 5 неправильная, там не $n!$ событий.

Исправляюсь: У нас 2 в степени n вариантов падения монет.
Вероятность того, что выпадет решка - p.
n=1, p=1/2
...?

[PAV]

В первой задаче суть такова. На самом деле в математической модели негласно присутствует понятие независимости результатов бросаний двух предметов. Т.е. результат падения каждого предмета не зависит от того, как выпал другой. (Если это не так, то модель будет неверна). Независимость событий в теории вероятностей - это то, что вероятность их пересечения равна произведению вероятностей.

Т.е. в пункте а: если взять событие A={первая монета выпала орлом}, B={вторая монета выпала орлом}, то вероятность того, что обе монеты выпали орлом, будет $P\{A\cap B\}=P\{A}\cdot P\{B\} = \frac{1}{4}$.

Аналогично в пункте b (там будет $\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$) и в пункте c ($\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{12}$). Соответственно, во всех пунктах исходы равновероятны.

Теперь пусть в пункте a монеты бросаются одновременно и неразличимы. Тогда наблюдатель не может отличить исходы "орел-решка" и "решка-орел", они для него объединяются в один. Получается три исхода. Но так как вероятность, скажем, исхода "орел-орел" измениться не может, то получается, что теперь вероятности будут равны $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{2}$ (последняя для объединенного исхода). Модель не равновероятная.

Аналогичная ситуация возникает в пункте b. В пункте c нет, так как там предметы всегда различимы.

Добавлено спустя 2 минуты 59 секунд:

В задаче 3: введите события $A=\{x>\frac{1}{2}\}$ и $B=\{y>\frac{1}{2}\}$, и выразите через них те события, о которых спрашивается в задаче.

Добавлено спустя 3 минуты 15 секунд:

Задача 4 правильно.

Добавлено спустя 23 минуты 28 секунд:

В задаче 6 Вы пошли немного по другому пути, чем я предлагал, но так тоже можно. Вы на самом деле пишете не все возможные результаты извлечений, а только до тех пор, пока не будут извлечены все бракованные детали. Но, впрочем, это практически одно и то же. Только вероятности в сумме должны дать 1. Вы не все возможные комбинации выписали. Их должно быть 6 всего, действительно все будут равновероятны.

Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду:

7 правильно

[Двоечник]

PAV писал(а):

В первой задаче суть такова. На самом деле в математической модели негласно присутствует понятие независимости результатов бросаний двух предметов. Т.е. результат падения каждого предмета не зависит от того, как выпал другой. (Если это не так, то модель будет неверна). Независимость событий в теории вероятностей - это то, что вероятность их пересечения равна произведению вероятностей.

Т.е. в пункте а: если взять событие A={первая монета выпала орлом}, B={вторая монета выпала орлом}, то вероятность того, что обе монеты выпали орлом, будет $P\{A\cap B\}=P\{A}\cdot P\{B\} = \frac{1}{4}$.

Аналогично в пункте b (там будет $\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$) и в пункте c ($\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{12}$). Соответственно, во всех пунктах исходы равновероятны.

Ну как же? В пункте с: возможных исходов в подбрасывании монеты - 2, а в подбрасывании куба - 6 (для случая различимых событий и последовательных подбрасываний). Соответственно и вероятности разные. Например, вероятность того, что выпадет "орел" при подбрасывании монеты (1/2) естественно больше чем вероятность того, что при подбрасывании кубика выпадет нужная нам грань (1/6). А по определению, РАВНОВОЗМОЖНЫМИ называются события, когда одно из них не является более возможным, чем другое.
Хотя, мы, наверное, не однозначно трактуем условие задачи Как правильно его надо понимать мне не ясно... и для какого случая ответ нужен тоже не ясно.

PAV писал(а):

Теперь пусть в пункте a монеты бросаются одновременно и неразличимы. Тогда наблюдатель не может отличить исходы "орел-решка" и "решка-орел", они для него объединяются в один. Получается три исхода. Но так как вероятность, скажем, исхода "орел-орел" измениться не может, то получается, что теперь вероятности будут равны $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{2}$ (последняя для объединенного исхода). Модель не равновероятная.

Аналогичная ситуация возникает в пункте b. В пункте c нет, так как там предметы всегда различимы.

Добавлено спустя 2 минуты 59 секунд:

В задаче 3: введите события $A=\{x>\frac{1}{2}\}$ и $B=\{y>\frac{1}{2}\}$, и выразите через них те события, о которых спрашивается в задаче.

Все равно не понял Нужно найти вероятность того что A > B? (

PAV писал(а):

В задаче 6 Вы пошли немного по другому пути, чем я предлагал, но так тоже можно. Вы на самом деле пишете не все возможные результаты извлечений, а только до тех пор, пока не будут извлечены все бракованные детали. Но, впрочем, это практически одно и то же. Только вероятности в сумме должны дать 1. Вы не все возможные комбинации выписали. Их должно быть 6 всего, действительно все будут равновероятны.

Я не дописал.
5. AABB, вероятность: p=2/4*2/3*1/2*1/1=4/24=1/6
6. ABAB, вероятность: p=2/4*2/3*1/2*1/1=4/24=1/6
В каждом случае последовательного извлечения нужных деталей вероятность одинакова и равна 1/6.
Ответ: вероятнее всего, будет извлечено 6 деталей.
Правильно?

Однако у меня все еще остались вопросы: по задачам 5, 8, 11, 12... Можете подсказать?

[PAV]

Двоечник писал(а):

Ну как же? В пункте с: возможных исходов в подбрасывании монеты - 2, а в подбрасывании куба - 6 (для случая различимых событий и последовательных подбрасываний). Соответственно и вероятности разные. Например, вероятность того, что выпадет "орел" при подбрасывании монеты (1/2) естественно больше чем вероятность того, что при подбрасывании кубика выпадет нужная нам грань (1/6). А по определению, РАВНОВОЗМОЖНЫМИ называются события, когда одно из них не является более возможным, чем другое.
Хотя, мы, наверное, не однозначно трактуем условие задачи Как правильно его надо понимать мне не ясно... и для какого случая ответ нужен тоже не ясно.

Вы не совсем понимаете понятие "элементарный исход эксперимента". Это атомарное событие, которое более нельзя разделить на более мелкие. Элементарный исход несет в себе всю информацию об эксперименте. При этом необходимо рассматривать весь эксперимент, а не какие-то его составные части. И еще: в каждой реализации эксперимента должен происходить один и только один элементарный исход.

Если бы мы только бросали монету, то было бы два элементарных исхода - орел и решка. Но у нас эксперимент заключается в бросании и монеты, и кости. Элементарный исход здесь должен описывать весь результат, т.е. это пара (результат монеты+результат кости). Их всего 12. Если же мы рассмотрим событие "монета упала орлом", то теперь это уже не элементарный исход (в силу всех перечисленных свойств элементарных исходов), а сложное событие, включающее в себя 6 (из 12) указанных исходов.


В задаче 3 явно указаны события, которые нужно найти. Подсказка: если наименьшее из двух чисел больше 1/2, то это равносильно тому, что оба числа больше 1/2 одновременно. Дальше подумайте сами.

Двоечник писал(а):

5. AABB, вероятность: p=2/4*2/3*1/2*1/1=4/24=1/6
6. ABAB, вероятность: p=2/4*2/3*1/2*1/1=4/24=1/6
В каждом случае последовательного извлечения нужных деталей вероятность одинакова и равна 1/6.
Ответ: вероятнее всего, будет извлечено 6 деталей.
Правильно?

Как может быть 6 деталей, если их всего не более 4? Конечно же, неправильно. Смотрите: у нас 6 равновероятных вариантов извлечения. В одном из них требуется извлечь 2 детали, в двух - три, в трех - все 4, чтобы извлечь все бракованные. Какая вероятность наибольшая?

Добавлено спустя 3 минуты 36 секунд:

5 правильно. Можно было, кстати, и не подбирать, а разрешить неравенство с помощью логарифма:
$\frac{1}{2^n}<0.01$; $2^n>100$; $n>\log_2 100 \approx 6.64$

Добавлено спустя 2 минуты:

7 наверное правильно, я вычисления не проверял, она простая

Добавлено спустя 1 минуту 56 секунд:

В 11 используйте гипергеометрическое распределение

[Двоечник]

PAV писал(а):

Двоечник писал(а):

Ну как же? В пункте с: возможных исходов в подбрасывании монеты - 2, а в подбрасывании куба - 6 (для случая различимых событий и последовательных подбрасываний). Соответственно и вероятности разные. Например, вероятность того, что выпадет "орел" при подбрасывании монеты (1/2) естественно больше чем вероятность того, что при подбрасывании кубика выпадет нужная нам грань (1/6). А по определению, РАВНОВОЗМОЖНЫМИ называются события, когда одно из них не является более возможным, чем другое.
Хотя, мы, наверное, не однозначно трактуем условие задачи Как правильно его надо понимать мне не ясно... и для какого случая ответ нужен тоже не ясно.

Вы не совсем понимаете понятие "элементарный исход эксперимента". Это атомарное событие, которое более нельзя разделить на более мелкие. Элементарный исход несет в себе всю информацию об эксперименте. При этом необходимо рассматривать весь эксперимент, а не какие-то его составные части. И еще: в каждой реализации эксперимента должен происходить один и только один элементарный исход.

Если бы мы только бросали монету, то было бы два элементарных исхода - орел и решка. Но у нас эксперимент заключается в бросании и монеты, и кости. Элементарный исход здесь должен описывать весь результат, т.е. это пара (результат монеты+результат кости). Их всего 12. Если же мы рассмотрим событие "монета упала орлом", то теперь это уже не элементарный исход (в силу всех перечисленных свойств элементарных исходов), а сложное событие, включающее в себя 6 (из 12) указанных исходов.

То есть правильное решение одно, и ответ правильный во втором случае: все исходы равновозможны в опыте c (вероятности исходов равны) для случая неразличимых исходов (то есть «орел-решка» и «решка-орел» - считать одним исходом как и выпадение результатов «2-1» и «1-2» на кубиках)?

PAV писал(а):

В задаче 3 явно указаны события, которые нужно найти. Подсказка: если наименьшее из двух чисел больше 1/2, то это равносильно тому, что оба числа больше 1/2 одновременно. Дальше подумайте сами.

Двоечник писал(а):

5. AABB, вероятность: p=2/4*2/3*1/2*1/1=4/24=1/6
6. ABAB, вероятность: p=2/4*2/3*1/2*1/1=4/24=1/6
В каждом случае последовательного извлечения нужных деталей вероятность одинакова и равна 1/6.
Ответ: вероятнее всего, будет извлечено 6 деталей.
Правильно?

Как может быть 6 деталей, если их всего не более 4? Конечно же, неправильно. Смотрите: у нас 6 равновероятных вариантов извлечения. В одном из них требуется извлечь 2 детали, в двух - три, в трех - все 4, чтобы извлечь все бракованные. Какая вероятность наибольшая?

Да, переучился я
Вероятность извлечения наибольшая будет при извлечении 4-х деталей.
Правильно?

PAV писал(а):

Добавлено спустя 3 минуты 36 секунд:

5 правильно. Можно было, кстати, и не подбирать, а разрешить неравенство с помощью логарифма:
$\frac{1}{2^n}<0.01$; $2^n>100$; $n>\log_2 100 \approx 6.64$

Добавлено спустя 2 минуты:

7 наверное правильно, я вычисления не проверял, она простая

Добавлено спустя 1 минуту 56 секунд:

В 11 используйте гипергеометрическое распределение

Спасибо, сейчас буду повторять теорию...

[PAV]

Если исходы различимы (т.е. их 4 для двух монет и 36 для двух костей), то они равновероятны. Если же перестановки неразличимы (т.е. 3 исхода для монет и 21 - для костей), то неравновероятны.

Добавлено спустя 6 минут 37 секунд:

Двоечник писал(а):

Вероятность извлечения наибольшая будет при извлечении 4-х деталей.
Правильно?

Формулировка не очень удачная. Правильнее сказать так: чтобы извлечь все бракованные детали, наиболее вероятный случай - это что придется извлечь все 4 детали и эта вероятность равна 1/2.

Кстати, эту задачу более красиво решить так. Известно (это легко показать из симметрии), что распределение типа извлекаемой детали не зависит от номера извлечения. Т.е. последняя из всех 4 извлекаемая деталь имеет такое же распределение, как и первая, т.е. с вероятностью 1/2 является бракованной. Отсюда также вытекает, что именно с этой вероятностью для извлечения всех бракованных деталей потребуется извлечь все детали. И это не зависит от того, сколько деталей всего, при условии, что бракованных ровно половина.

[Двоечник]

PAV писал(а):

Если исходы различимы (т.е. их 4 для двух монет и 36 для двух костей), то они равновероятны. Если же перестановки неразличимы (т.е. 3 исхода для монет и 21 - для костей), то неравновероятны.

То есть в принципе, правильно было бы в ответе указать два случая?

PAV писал(а):

Двоечник писал(а):

Вероятность извлечения наибольшая будет при извлечении 4-х деталей.
Правильно?

Формулировка не очень удачная. Правильнее сказать так: чтобы извлечь все бракованные детали, наиболее вероятный случай - это что придется извлечь все 4 детали и эта вероятность равна 1/2.

Кстати, эту задачу более красиво решить так. Известно (это легко показать из симметрии), что распределение типа извлекаемой детали не зависит от номера извлечения. Т.е. последняя из всех 4 извлекаемая деталь имеет такое же распределение, как и первая, т.е. с вероятностью 1/2 является бракованной. Отсюда также вытекает, что именно с этой вероятностью для извлечения всех бракованных деталей потребуется извлечь все детали. И это не зависит от того, сколько деталей всего, при условии, что бракованных ровно половина.

Красиво сказано. Спасибо.

А что скажете относительно задачи 12? Я, кажется, не в том направлении начал решать.

12. Случайный опыт состоит в выяснении пола детей в семьях с тремя детьми. Сколько возможных исходов у этого опыта? Придумайте, как их можно закодировать. Как вы думаете, можно ли считать их равновозможными? Запишите каждое из следующих событий в виде множества благоприятных исходов:
 А= {все дети в семье – мальчики}
   В=     {все дети в семье имеют одинаковый пол}
   С=     { первенец в семье – мальчик}
    D=    {младший ребёнок в семье – девочка} 

Я так понял, что закодировать исходы нужно так:
A=B*C
B=???
C=???
Или должны появиться новые исходы? Типа такого:
a) B+D...
????? HELP???


И правильно ли я решил задачу 10?

[PAV]

Двоечник писал(а):

То есть в принципе, правильно было бы в ответе указать два случая?

Скорее так, поскольку в условии явно не указано, какие случаи имеются в виду.

В задаче 10 исходов всего 366 - сколько максимально дней в году.

В задаче 12 опыт равносилен (с точки зрения элементарных исходов) последовательным бросаниям монеты три раза.

[Двоечник]

PAV писал(а):

Двоечник писал(а):

То есть в принципе, правильно было бы в ответе указать два случая?

Скорее так, поскольку в условии явно не указано, какие случаи имеются в виду.

В задаче 10 исходов всего 366 - сколько максимально дней в году.

Количество элементарных исходов в событиях:
А=31 (родился в период с 1-го по 31-е января)
B=30 (родился в период с 1-го по 30-е апреля)
C=11 (родился 30-го числа любого месяца)
D=31+31+28=90 (в период с 1-го декабря по 28-е февраля) или 91 для високосного года

Правильно? Теперь нужно найти пересечения дла исходов:
а) (AПC)UB б)АП(СUB) в)(AUB)П(СUD) г) AUBUCUD
?

PAV писал(а):

В задаче 12 опыт равносилен (с точки зрения элементарных исходов) последовательным бросаниям монеты три раза.

[PAV]

A, B и C правильно.

В D нет, так как мы в множество элементарных исходов ввели 29 февраля, а год мы все равно не учитываем. Т.е. D состоит из 91 исходов.

Ну а объединения и пересечения Вы уж сами найдите, это совсем не сложно... Важно только смотреть, чтобы не посчитать какой-либо день дважды.

[Двоечник]

PAV писал(а):

A, B и C правильно.

В D нет, так как мы в множество элементарных исходов ввели 29 февраля, а год мы все равно не учитываем. Т.е. D состоит из 91 исходов.

Ну а объединения и пересечения Вы уж сами найдите, это совсем не сложно... Важно только смотреть, чтобы не посчитать какой-либо день дважды.

То есть для варианта D=31+31+29=91 (в период с 1-го декабря по 29-е февраля для високосного года)

Теперь находим объединения и пересечения.

а) то есть прохожий родился (30 января) + в апреле (30 дней). То есть 1+30=31 исход.
б) то есть прохожий родился (1-31 января И (30 числа + 1-30 апреля)). То есть 30 января. Ответ: 1 исход.
в) то есть прохожий родился (1-31 января+1-30 апреля И 30 числа + зимой)=1-31 января + 30 апреля = 32 исхода. Ответ: 32 исхода.
г) то есть прохожий родился (1-31 января + 1-30 апреля + 30 числа + зимой) = 31 + 30 + (11-3) + (31 + 29)=129.
Ответ: 129 исходов если год високосный.

Правильно?
Но мне все равно не понятно, почему мы должны рассматривать обязательно високосный год? Я думал нужно будет дать два ответа - для високосного года и не високосного.