Сумма последовательных, равная степени

[Xenia1996]

Найдутся ли такое нечётное натуральное число $n$ и такое натуральное (не обязательно нечётное) число $m$, что не существует $n$ последовательных натуральных чисел, сумма которых равна $m$-ной степени некоторого натурального числа?

[MrDindows]

Нет, так как для любых $n,m $:
$(n^{m-1}-\frac{n-1}{2})+(n^{m-1}-\frac{n-3}{2})+...+(n^{m-1}-\frac{2}{2})+(n^{m-1})+(n^{m-1}+\frac{2}{2})+(n^{m-1}+\frac{4}{2})+...+(n^{m-1}+\frac{n-1}{2})=n^m$

[nnosipov]

Кстати, а какие натуральные числа можно представить (и сколькими способами) в виде суммы нескольких (более одного) последовательных натуральных чисел?

[Sonic86]

Ой, а я не понял Вы хотите решить уравнение
$1+2+...+n=k^m$? Если да, то есть хотя бы решения $n=1;8$.

[ИСН]

nnosipov: сумма последовательных чисел (более одного) - это разность двух треугольных (не соседних), т.е. ${n^2+n\over2}-{m^2+m\over2}={(n-m)(n+m+1)\over2}$. То есть любое, у которого есть нечётные делители больше 1. То есть...

[nnosipov]

ИСН в сообщении #432753 писал(а):

nnosipov: сумма последовательных чисел (более одного) - это разность двух треугольных (не соседних), т.е. ${n^2+n\over2}-{m^2+m\over2}={(n-m)(n+m+1)\over2}$. То есть любое, у которого есть нечётные делители больше 1. То есть...

Именно так и есть. Ещё бы формулу для числа представлений ... Если кому не лень ... (Я имею в виду прежде всего школьников, им это может быть интересно, да и небесполезно.)

[ИСН]

А число представлений будет как-то естественно вылезать из числа делителей. Не всех, а этих, которые это. Ну это.
Да, толковый школьник разберётся, наверное.

[nnosipov]

ИСН в сообщении #432827 писал(а):

А число представлений будет как-то естественно вылезать из числа делителей. Не всех, а этих, которые это. Ну это.
Да, толковый школьник разберётся, наверное.

Согласен. Это как раз и есть задачка с одной школьной конференции. Но докладчик что-то не смог сделать.