функция с нулевой производной

[RIP]

Пусть непрерывная функция $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ такова, что в любой точке $x\in\mathbb{R}$

$$\lim_{h\to+0}\frac{f(x+2h)-f(x+h)}h=0.$$

Верно ли, что функция постоянна?

[worm2]

Лестница Кантора, часом, не контрпример?

[Capella]

worm2 писал(а):

Лестница Кантора, часом, не контрпример?

А условие непрерывности? Сорри, вопрос снят, я имела ввиду изначально другую функцию

[ИСН]

А она ж непрерывна вроде, нет?

[RIP]

worm2 писал(а):

Лестница Кантора, часом, не контрпример?

Попробуйте доказать

[Brukvalub]

Известно, что, похожее на исходное, условие

$$\lim_{h\to+0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}h=0$$

влечет постоянство функции f, так что пример с лестницей Кантора, похоже, не годится.

[worm2]

Прошу пардону, лестница Кантора --- таки не контрпример.
Если не ошибся в вычислениях, то:

$$\frac{f(4/13+2 \cdot 3^{-1-3n})-f(4/13+3^{-1-3n})}{3^{-1-3n}}=6/7 \cdot 1.5^{1+3n}$$

.
Но даже если и ошибся, то только количественно.

[Руст]

Для непрерывной функции контрпримеров нет.
Только постоянные. Делайте сетку с шагом h и сразу станет ясно, что |f(a)-f(b)|<epsilon.
Кажется здесь неявно воспользовался равномерностью, который может отсутствовать.