Уравнения, описывающие течение в трубке

[Парджеттер]

Как правило, когда переходят от уравнений вида

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \rho v_r)+\frac{\partial}{\partial x} (\rho v_x) \eqno{(1)}$$

(здесь я опускаю уравнения Эйлера, они обычные - в цилиндрических координатах) описывающих осесимметричное течение в гладкой трубке переменного сечения, к уравнениям, осредненным по сечению

$$S\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(\rho v_x S)=0 \eqno{(2)}$$

говорят волшебные слова, что, дескать, площадь должна меняться достаточно медленно и т.д. и т.п. Причем, интегрируя по сечению с учетом гран. условий, можно вполне строго получить из уравнения (1) такое

$$\int \frac{\partial \rho}{\partial t} dS + \frac{\partial}{\partial x}\int \rho v_x dS=0 \eqno{(3)}$$

где интеграл берется по всей площади сечения. В этом случае понятно, что для перехода от (3) к (2) нужно потребовать слабой зависимости всех входящих комбинаций от $r$. А нельзя ли получить какого-то более точного и определенного условия? Может быть это где-то рассмотрено?

[Zai]

При изменении сечения можно оценить максимальную радиальную скорость на стенке.
$V_r=\alpha V_x$
$\alpha=\frac 1 2 \frac {dS} {dx} \sqrt {\frac {\pi} S}$
Сравнивая одномерные расчеты с экспериментом можно определить какой угол расширения сечения является критическим.
Более существенным вопросом сходимости экспериемнта с одномерными расчетами может быть учет влияния пограничного слоя да и турбулентности.

[Парджеттер]

Zai в сообщении #432187 писал(а):

При изменении сечения можно оценить максимальную радиальную скорость на стенке.
$V_r=\alpha V_x$
$\alpha=\frac 1 2 \frac {dS} {dx} \sqrt {\frac {\pi} S}$

А это чисто теоретические формулы, т.е. их можно вывести из исходных уравнений и граничных условий?

[Zai]

Это условие непротекания через стенку сопла. Угол соответствует среднему углу на стенке сопла в случае гофрированного по окружному направлению сопла.