Числа Фибоначчи и ранг матрицы

[Alik]

Пусть некоторое целое число $N_n<F_{n+2}$, где $n$ это резолюция представлено в коде Цекендорфа как сумма чисел Фибонначчи $F_i$. В качестве примера возьмем $n=5$, тогда все представимые числа $N_n<13$, а их код дополняется нулями в старших разрядах, допустим $7=5+2\to 001010$. Коды Цекендорфа для других чисел можно найти здесь: http://books.google.co.il/books?id=Pq2A ... ci&f=false
Чтобы получить для того же самого $N_n$ новый код со знаком прибавим единицу к первому слева $a_j =1$. В соответствии с формулой $2F_i=F_{i+1}+F_{i-2}$ это влечет за собой два переноса - первый на одну позицию слева, а второй на две позиции справа. Переполнение справа можно исключить если использовать начальные значения $F_1=1$ и $F_0=0$. В получившейся сумме исходный $a_j =1$ превращается в $a_j =0$ и для того чтобы вернуться к прежнему значению $N_n$ заменим этот $a_j =0$ на $a_j =-1$. Описанная выше процедура повторяется для всех $a_j =1$ в коде Цекендорфа и для всех $a_j =1$ в каждом новом коде со знаком. Доказать, что ранг матрицы составленной из кода Цекендорфа и всех новых кодов равен $n+1$.
Ниже приведен пример выполнения процедуры от начала до конца

В результате имеем четыре кода:
\left[ {\begin{array}{*{10}c} {0} & {1} & {0} & {0} \\ {1} & {-1} & {0} & {1} \\ {1} & {-1} & {1} & {-1} \\ {1} & {0} & {-1} & {0} \\ \end{array}} \right] \\ \
Ранг этой матрицы действительно равен 4.