Две концентрические окружности

[Xenia1996]

Даны две концентрические окружности радиусов 1 и 2011.
К маленькой окружности проведены три касательные так, что их точки пересечения $P_1, P_2, P_3$ лежат внутри большой окружности.
$S$ - площадь треугольника $P_1P_2P_3$
$S_1, S_2, S_3$ - площади трёх образовавшихся криволинейных треугольников с вершинами в точках $P_1, P_2,$ и $P_3$

Найти $S_1+S_2+S_3-S$ и доказать, что эта величина не зависит от того, как именно были проведены касатки касательные.

(Оффтоп)

*С моего компа невозможно запостить чертёж, если кому-нибудь не лень, буду рада, задача очень красивая и решение - тоже!

[Sonic86]

Каждая касательная отсекает от большей окружности сегмент площадью $C$ (площадь у всех у них одинакова, поскольку они совмещаются поворотом). Тогда
$\pi R^2 = S(\Delta P_1P_2P_3)+3C-(S_1+S_2+S_3)$, то есть
$S_1+S_2+S_3-S=\pi R^2-3C$ - зависит только от радиусов $r,R$.
Ну и остается найти $C$ как площадь сектора без площади треугольника: $C=\frac{\arccos \frac{r}{R}}{\pi}R^2 - r \sqrt{R^2-r^2}$.

(Оффтоп)

вроде не наврал

(фиговая картинка, у gris лучше)

[gris]

Эти криволинейные треугольники? А то там и другие есть с теми же вершинами.

(Оффтоп)

Картинку Sonic86 не видел, но получилось весьма похоже, даже по раскраске
Телепатия, однако!

[Xenia1996]

gris,

(Оффтоп)

А птычк зачэм?

[gris]

Дык касатка же!

[Sonic86]

Интересно, для больших кривоугольных треугольников инвариант есть?

(Оффтоп)

gris, Вы в чем рисовали? явно лучше Painta

[gris]

Инвариант есть и для маленьких — образованных касательными и дугами маленькой окружности (с одинаковым направлением выпуклости)

(Оффтоп)

Рисовал во Flash — векторном редакторе с конвертацией в gif.
Признаюсь, я там даже программки для численных расчётов пишу. Есть удобный паскалеподобный скрипт, но без его строгостей и с кучей фич.

[Sonic86]

Хе, для больших треугольников инвариант такой же!
Обозначим $W_j$ - площадь больших треугольников, тогда
$\pi R^2 = W_1+W_2+W_3-2S+(S_1+S_2+S_3) \Leftrightarrow$
$\pi R^2 = (W_1+W_2+W_3-S)+(S_1+S_2+S_3-S)$