Привести слау к сходящейся в методе простых итераций

[iGarrets]

В общем мне нужно расписать и запрограммировать мпи применительно к слау. С этим проблем не возникло,как и с несколькими вариациями метода. Но вот в условии сходимости к этому методу сказано, что норма матрицы должна быть <1, чтобы диагональные элементы преобладали над остальными. Поискав по интернету, не нашёл как можно это сделать. Кроме как аналитически, индивидуально для каждой слау.
Немного подумав, придумал некую ересь, которая возможно поможет в этом, но это скорее "перебираем пока либо не найдём, либо не надоест", и то, бредом мне кажется))
Скажите, есть ли такой метод, который можно програмно описать, чтобы привести систему к сходящейся?

[worm2]

Попробуйте умножить обе части уравнения слева на матрицу $\dfrac{2A^T}{||A^TA||}$, где A — исходная матрица СЛАУ, T означает транспонирование, а матричную норму можно взять любую. Как-то так. Диагонального преобладания не гарантирую, но сходимость должна появиться, ну, если A хорошая

[iGarrets]

worm2 в сообщении #431747 писал(а):

Попробуйте умножить обе части уравнения слева на матрицу $\dfrac{2A^T}{||A^TA||}$, где A — исходная матрица СЛАУ, T означает транспонирование, а матричную норму можно взять любую. Как-то так. Диагонального преобладания не гарантирую, но сходимость должна появиться, ну, если A хорошая

Огромное спасибо! как раз то что нужно, слау отлично привелась и посчиталась.

[iGarrets]

хотя да, некоторые системы не может решить, выдаёт большую ошибку) осталось прикинуть что за такие системы плохие))

[ewert]

Заведомо не будет сходиться, если норма матрицы -- евклидова (т.е. равна квадрату наибольшего сингулярного числа). Чтобы этого избежать, можно чуть-чуть уменьшить двойку; впрочем, вряд ли Вы использовали именно евклидову норму. В остальных случаях сходиться обязана, только сходимость будет жутко медленной для плохо обусловленных матриц. Собственно, скорость сходимости -- линейная, причём знаменатель геометрической прогрессии отличается от единицы на число, примерно обратное числу обусловленности, и если число обусловленности ну хотя бы порядка сотни (что не такая уж и редкость) -- то сами понимаете.

[iGarrets]

ewert в сообщении #432011 писал(а):

Заведомо не будет сходиться, если норма матрицы -- евклидова (т.е. равна квадрату наибольшего сингулярного числа). Чтобы этого избежать, можно чуть-чуть уменьшить двойку; впрочем, вряд ли Вы использовали именно евклидову норму. В остальных случаях сходиться обязана, только сходимость будет жутко медленной для плохо обусловленных матриц. Собственно, скорость сходимости -- линейная, причём знаменатель геометрической прогрессии отличается от единицы на число, примерно обратное числу обусловленности, и если число обусловленности ну хотя бы порядка сотни (что не такая уж и редкость) -- то сами понимаете.

Да, извиняюсь, всё сходится. Просто брал максимально 1к итераций, ошибка была порядка 2000%, при 50к итераций ошибка стала уже порядка тысячных для "плохой матрицы'). А вот сделал метод релаксаций- после поиска наилучшего коэф. понадобилось всего 1к .

[worm2]

Кстати, зачем я двойку написал?
2 — это да, граница теоретической сходимости. Но зачем нам граница? Можно поменьше взять, единицу, например.
Хотя если у Вас метод релаксаций готов, то это уже неактуально.