Тройной интеграл

[Eiktyrnir]

Преуваажаемые, подскажите пожалуйста. Застрял на простом примере, но несколько сложном для меня.
Найти объем тела ограниченного поверхностями
$x^2+y^2=2\sqrt{2}y$
$z=x^2+y^2-4$
$z\geqslant 0$
Вообщем получается что-то вроде такой "ерунды" (как мне "кажется").

Логика моей постройки...
Параболоид выходящий из $z=-4$ (хотя область $z<0$ нам не интересна) и цилиндр (в сечении окружность радиуса $2\sqrt{2}$). Так как в плоскости $z=0$ у параболоида сечение его окружности радиусом $2$, то я так понимаю $2\sqrt{2}>2$ и поэтому нарисовал что нарисовал. Только немогу взять в толк что высекается - частьмежду цилиндром и элипсоидом до того момента где они пересекутся, т.е. где радиус сечения окружности эллипсоида станет равным $2\sqrt{2}$? Или это что-то иное?
Вот теперь пытаюсь взять "интригал". Получается прямо как из к-а про "Электроника".
Мне главное пределы интегрирования - соатльное дело техники.
В декартовой вроде как сложновато...
$-2\sqrt{2}\leqslant y\leqslant2\sqrt{2}$
$-\sqrt{2\sqrt{2}y-y^2}\leqslant x\leqslant \sqrt{2\sqrt{2}y-y^2}$
$0\leqslant z\leqslant x^2+y^2-4$
Интеграл убойный просто... Решил перейти к цилиндрическим... Тут вроде просто все
$x=rcos{\varphi}$
$y=rsin{\varphi}$
$z=z$
Итого получил
$0\leqslant \varphi\leqslant 2\pi$
$0\leqslant r\leqslant 2\sqrt{2}sin{\varphi}$
$0\leqslant z\leqslant r^2-4$
Но преподавателя упорно не устраивают эти пределы интегрирования и мой рисунок... Немогу взять в толк, где я лажанулся? Подскажите уважаемые корифеи пожалуйста?

[ИСН]

Меня не устраивает Ваш цилиндр. Где у него ось? Какой радиус?

[spaits]

Eiktyrnir в сообщении #430930 писал(а):

цилиндр (в сечении окружность радиуса $2\sqrt2$).

Цилиндр, как уже сказали Вам, нарисован и описан неверно. В сечении цилиндра с плоскостью $xOy$ - окружность, но с центром в точке $(0; \sqrt2; 0)$ и радиусом $\sqrt2$. Преобразуйте уравнение цилиндра $x^2+y^2=2\sqrt2y=0$ и получите: $x^2+(y-\sqrt2)^2=2$.
Нарисуйте этот цилиндр, картинка будет другой. Параболлоид нарисован верно.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Так как обьему фиолетово, куда сместилась ось цилиндра, то можно проcто сделать замену $\ \bar y=y-\sqrt2\ $ а дальше - перейти к цилиндриццким kоординатам.

[spaits]

Найдите область интегрирования в плоскости $xOy$, положив в уравнении параболлоида $z=0$. Уравнение цилиндра - без изменений. Вычислите в плоскости $xOy$ координаты точек пересечения этих линий, и найдёте пределы интегрирования.
Да, перейдите к цилиндрическим координатам.

[ewert]

Не надо никаких замен, надо тупо в полярных координатах. Получится интеграл по углу от пи на четыре до трёх пи на четыре, а внутри по радиусу от двух ну там до соотв. синусов.

[spaits]

ewert в сообщении #430941 писал(а):

Не надо никаких замен, надо тупо в полярных координатах. Получится интеграл по углу от пи на четыре до трёх пи на четыре, а внутри по радиусу от двух ну там до соотв. синусов.

Тупо в полярных координатах находим область интегрирования в плоскости $xOy$. А для нахождения объёма тела необходимо перейти к цилиндрическим координатам и соответствующую формулу объёма применить.

[ewert]

spaits в сообщении #430945 писал(а):

А для нахождения объёма тела необходимо перейти к цилиндрическим координатам

Да вовсе нет. Нахождение объёма -- это сугубо двумерная задача. Трёхмерность маячит там, дальше, дальше.

[spaits]

ewert в сообщении #430956 писал(а):

Да вовсе нет. Нахождение объёма -- это сугубо двумерная задача. Трёхмерность маячит там, дальше, дальше.

Покажите, как найти объём в данном случае.

[Eiktyrnir]

ИСН в сообщении #430931 писал(а):

Меня не устраивает Ваш цилиндр. Где у него ось? Какой радиус?

Нет ну это...
$y^2+x^2=2\sqrt{2}y$, $y^2-2\sqrt{2}y+x^2=0$, $y^2-2\sqrt{2}y+2-2+x^2=0$, $(y-\sqrt{2})^{2}+x^2-2=0$, $(y-\sqrt{2})^{2}+x^2=2$
Что-то он меня сам не устраивает... точнее его центр.. он смещен относительно точки $(0;0;0)$ в плоскости $x0y$ вправо по оси $y$. Но радиус цилиндра $\sqrt{2}$

spaits писал(а):

Нарисуйте этот цилиндр, картинка будет другой. Параболлоид нарисован верно.

- спасибо Вам мил человек - ошибку свою осознал. Да картинка для цилиндра сместится немного относительно точки $(0;0;0)$ вправо по оси $y$ как раз в точку $(0;\sqrt{2};0)$. Тогда цилиндрик наш будет вырезать вообще какую-то "странную фигуру" из эллипсода. Довольно-таки "замысловатую вещь"...
Ну допустим вот такую какую-то

Ну да ладно с ней...

ewert писал(а):

Не надо никаких замен, надо тупо в полярных координатах. Получится интеграл по углу от пи на четыре до трёх пи на четыре, а внутри по радиусу от двух ну там до соотв. синусов.

Немогу взять в толк вот это по углу от пи на четыре до трёх пи на четыре и вот это по радиусу от двух ну там до соотв. синусов. Ну допустим не совсем дурак - от двух по радиусу потому что наверное в плоскости $x0y$ смещено начало радиус вектора по $y$ в точку где $y=\sqrt{2}$? И тогда из уравнения для $z$ следует, что при $z=0$ следует, что $r^2=4$, тогда $r=2$ (отрицательное значение отпадает и я понимаю почему). Ну а другой предел изменения $r$ да действительно $2\sqrt{2}sin{\varphi}$. Вот только немогу понять с углом. Уважаемый ewert - намекните на чем зиждится ваша прозорливость в данном вопросе пожалуйста.

[ewert]

Eiktyrnir в сообщении #431245 писал(а):

намекните на чем зиждится ваша прозорливость в данном вопросе

Я просто польщён применённой ко мне лестью.

Между тем как смотреть надо тупо и в лоб. Параболоид высовывается вверх над горизонтальной плоскостью вне окружности (ну, или если угодно, вертикального цилиндра) с центром в нуле и радиусом $r=2$. И тока там. А сбоку (и снаружи) он ограничен вертикальным цилиндром $r=2\sqrt2\sin\varphi$, что моментально вытекает из Вашего же первого же уравнения. Откуда сразу и углы.

[zkutch]

это пример из Демидовича 4015 схожий с вашим (только может чуть сложнее и выделение полного квадрата по х а не по у) сперва в в декартовых а потом в полярных координатах (если угодно, цилиндрических). Как решается там же где и рисунки.
Это еще в 2001-ом я выложил с десяток примеров как решаются наглядно в маткаде (так и лежат, пылятся ...)

[Yu_K]

Wolframalpha - еще одна подсказка - сечение плоскостью $z=0$ цилиндра и параболоида - тут сразу понятно, что представляет собой область интегрирования в плоскости $x0y$.

Двойные интералы Вольфрам тоже считает оказывается - хотя в примерах их нет - просто в скобочки внутренний интеграл нужно взять - example.

[Eiktyrnir]

ewert писал(а):

Между тем как смотреть надо тупо и в лоб. Параболоид высовывается вверх над горизонтальной плоскостью вне окружности (ну, или если угодно, вертикального цилиндра) с центром в нуле и радиусом $r=2$. И тока там. А сбоку (и снаружи) он ограничен вертикальным цилиндром $r=2\sqrt2\sin\varphi$, что моментально вытекает из Вашего же первого же уравнения. Откуда сразу и углы.

Очевидно, что помимо того, что я тупоголовый, то наверное еще и слепой. Вот в моей тупоголовой голове не может уложится простейший предел для изменения угла для $\varphi$, а конкретно $\frac{3\pi}{4}$. Предел $\frac{\pi}{4}$ я уже понял как получается (сам себе удивляюсь). Естественно там где $r=2$, то там $sin{\varphi}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, т.е. $\varphi=\frac{\pi}{4}$, но вот немогу взять в толк никак предел изменения угла в $\frac{3\pi}{4}$.

(Оффтоп)

To zkutch,Yu_K - Огромное Вам спасибо. Очевидно когда я стану полным калекой на голову - я обязательно освою калькуляторы различных интегралов и прочие калькуляторы, но пока во мне теплятся остатки разума - я буду стараться хвататься за них, дабы не стать полным инвалидом. Извините к вам никаких упреков - это мое личное мнение. Еще раз простите, но к вам никаких упреков - спасибо что указали на данные инструменты. Просто я не стронник подобных вещей - это если совсем сложная задача, тогда быть может и да, но тут матан - 1 курс...

[spaits]

$\sin \varphi=\frac12$; это Вам понятно.
Решите это тригонометрическое уравнение в пределах одного оборота радиуса. Ведь обе окружности пересекаются в двух точках, значит, значений угла должно быть два, надо их найти. Эти значения: $\varphi_1=\frac{\pi}4$ (это значение угла Вы нашли) и $\varphi_2=\frac{3\pi}4$.
Две точки пересечения окружностей, два значения угла поворота радиуса. Очень просто. Это область интегрирования. Нарисуйте область интегрирования в плоскости $xOy$. На Вашем черном рисунке вторая точка пересечения окружностей не видна. Первый рисунок вообще неверный (но с этим Вы разобрались).
Сможете написать тройной интеграл для вычисления объема?