Линейные операторы (теория) - инвариантные подпростанства

[dmitryf]

Есть теорема (Кострикин Ч. II стр. 82). Всякий комплексный (соответственно вещественный) линейный оператор А имеет одномерное (соответственно одномерное или двумерное) инвариантное подпространство).

Доказательство, относящееся к вещественному полю имеющему одномерное инв. подпространство, такое:

Возьмем минимальный аннулирующий многочлен $M(t)$ оператора $A$. Если он имеет вещественный корень $a$, то $M(t) = (t-a)g(t), g(t)\in R[t]$.
Т.к. $g(A)\neq0$ в силу минимальности $M(t)$, то $v=g(A)u\neq0$ для некоторого вектора $u\in V$. Но
$(A-aE)v = (A-aE)g(A)u = M(A)u = 0$ ($A$ и $E$ здесь операторы),
откуда $Av = av$, т.е. $v$ - собственный вектор.

Возникло несколько вопросов:
1. Почему в качестве собственного числа $a$ оператора $A-aE$ используется корень минимального многочлена оператора? Как они связаны? Я тогда не совсем понимаю, что такое вообще корень мин. ан. многочлена, разве это не сам оператор или его матрица?
2. После того, как это станет понятно второй вопрос надеюсь отпадет, он такой, каким образом происходит переход:
$(A-aE)g(A)u = M(A)u$?

[svv]

dmitryf писал(а):

Почему в качестве собственного числа $a$ оператора $A-aE$ используется корень минимального многочлена оператора? Как они связаны?

Теорема Гамильтона-Кэли: квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

[dmitryf]

Хм, в Кострикине она идет дальше этой теоремы. :)

[svv]

Но -- Вы поняли? -- это всё объясняет. Один и тот же характеристический полином, если его взять от матрицы, будет её аннулировать, если его взять от $\lambda$ и приравнять нулю -- даст собственные числа $\lambda_i$.

[ewert]

Какой-то бойан, во-первых, а во-вторых, непонятно, зачем Кострикину понадобилось пудрить мозги аннулирующими многочленами в этом месте. Всё гораздо тривиальнее. Любая вещественная матрица имеет гарантированно или хоть одно вещественное собственное число, или хоть одну пару комплексных и взаимно сопряжённых. В первом случае собственное подпространство и будет искомым одномерным инвариантным. Во втором -- пусть это будут собственные числа $\lambda$, $\overline{\lambda}$ и соответствующие им собственные векторы $u$, $\overline{u}$ (линейно независимые и тоже взаимно комплексно сопряжённые). Натянутое на эти вектора двумерное подпространство (комплексное) инвариантно. Если теперь взять в этом подпространстве любые два линейно независимых вещественных вектора, то их вещественная линейная оболочка тоже будет инвариантным подпространством, но уже в вещественном пространстве. А такие векторы найти можно -- например, $v_1=\frac{1}{2}(u+\overline{u})$ и $v_2=\frac{1}{2i}(u-\overline{u})$.

(Это один из тех случаев, когда разумнее всего перейти временно от операторного языка к матричному, быстренько всё доказать и снова вернуться к операторному описанию.)

[Leox]

dmitryf в сообщении #431471 писал(а):

Возникло несколько вопросов:
1. Почему в качестве собственного числа $a$ оператора $A-aE$ используется корень минимального многочлена оператора? Как они связаны? Я тогда не совсем понимаю, что такое вообще корень мин. ан. многочлена, разве это не сам оператор или его матрица?
2. После того, как это станет понятно второй вопрос надеюсь отпадет, он такой, каким образом происходит переход:
$(A-aE)g(A)u = M(A)u$?

В учебнике все правильно написано, и Теорема Гамильтона-Кели там ни причем. Еще раз внимательно прочитайте определения а потом доказательство.