Последовательность аналитических функций

[bundos]

$f_1(z),\ldots , f_n(z), \ldots$- Аналитические в $G$ и в каждой содержащейся в ней замкнутой области равномерно сходятся к $f(z)$. Тогда $f(z)$- аналитическая во всей области $G$.

(Оффтоп)

Попробовал решить: Для любого конутра $\Gamma \subset G: \int\limits_{\Gamma}f_n(z)dz=0$;В силу равномерной сходимости $\left|\int\limits_{\Gamma}f(z)dz\right|=\left|\int\limits_{\Gamma}\left[f_n(z)-f(z)\right]dz\right|<\epsilon l_{\Gamma}$ т.к. $\epsilon$ можно взять сколь угодно малое, то $\left|\int\limits_{\Gamma}f(z)dz\right|=0$, а значит и $\int\limits_{\Gamma}f(z)dz=0$, т.е. $f(z)$ аналитична в любой замкнутой подобласти области $G$.
P.S. Я так понял, что в условии $G$ не замкнуто.

AKM:

bundos,

на мой взгляд, Ваша манера прятать свою попытку решения в тэг оффтопик затрудняет чтение: ведь всё равно отвечающий должен его раскрыть и прочитать.

[Gortaur]

(Оффтоп)

Есть замкнутые области?

[ewert]

Непрерывная функция аналитична тогда и только тогда, когда для неё справедлива интегральная формула Коши: $\displaystyle f(z)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\Gamma}\dfrac{f(w)}{w-z}\,dz$ для любой точки $z$, лежащей внутри контура $\Gamma$. Для функций из исходной последовательности эти равенства выполняются, а равномерность сходимости позволяет осуществить предельный переход под знаком интеграла.

[bundos]

ewert, а разве нельзя сказать, что, т.к. $f_n(z)$ непрерывна на замкнутой области и последовательность равномерно сходится, то предел, т.е. $f(z)$- также непрерывный функция на данном множестве, а отсюда по теореме Мореры аналитичность доказать? Или вы это и имели в ввиду?

[ewert]

Нет, я не буквально это имел в виду, но можно и так. Главное -- не забыть оговорить, что из равномерной сходимости следует и сходимость интегралов, каких (в зависимости от выбранного варианта д-ва) заблагорассудится.

Ну и плюс пару заклинаний насчёт односвязности, разумеется -- это уж в любом варианте.