сумма кв.корней из корней полинома

[maxal]

Пусть дан полином $f(x)$ степени n с рациональными коэффициентами, все корни которого являются неотрицательными действительными числами: $x_1, \dots, x_n\geq 0$.
Требуется дать простое выражение для числа $r=\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + \dots + \sqrt{x_n}$ через коэффициенты полинома $f(x).$

Пусть $s_k = x_1^k + x_2^k + \dots + x_n^k$ - суммы k-х степеней корней полинома $f(x)$. Понятно, что для целых неотрицательных $k,$ числа $s_k$ полиномиально выражаются через коэффициенты $f(x)$ (см. формулы Ньютона-Жирара).
При этом число $r$ (и даже число $r^2$) является корнем полинома, коэффициенты которого в свою очередь полиномиально выражаются через $s_k$:

n=1: $r^2 - s_1 = 0$

n=2: $r^4 - 2 s_1 r^2 + (2 s_2 - s_1^2) = 0$

n=3: $3 r^8 - 12 s_1 r^6 + (6 s_1^2 + 12 s_2) r^4 + (- 20 s_1^3 + 72 s_1 s_2 - 64 s_3) r^2 +\\ + (3 s_1^4 - 12 s_1^2 s_2 + 12 s_2^2) = 0$

n=4: $9 r^{16} - 72 s_1 r^{14} + (180 s_1^2 + 72 s_2) r^{12} + \dots = 0$

К сожалению, степень этих полиномов растет как $2^n,$ и в общем случае получить что-то более компактное вряд ли удастся.

Пусть теперь полином $f(x)$ удовлетворяет свойству $f(y^2)=g(y) g(-y),$ где $g(y)$ так же полином с рациональными коэффициентами, и, в частности, каждый $\sqrt{x_i}$ является корнем либо $g(y),$ либо $g(-y).$ Имеется ли в этом случае для $r$ более простое выражение?

[Lion]

maxal писал(а):

...Пусть $s_k = x_1^k + x_2^k + \dots + x_n^k$ - суммы k-х степеней корней полинома $f(x)$. Понятно, что для целых неотрицательных $k,$ числа $s_k$ полиномиально выражаются через корни коэффициенты $f(x)$ (см. формулы Ньютона-Жирара)...

Небольшое утонение: формулы Ньютона-Жирара позволяют выразить $s_k$ во-первых, через коэффициенты (а не через корни) многочлена $f(x)$, а во-вторых, это возможно только при $0\leq k \leq n$, а при $k> n$, насколько я знаю, подобных формул нет.

[maxal]

Lion писал(а):

maxal писал(а):

...Пусть $s_k = x_1^k + x_2^k + \dots + x_n^k$ - суммы k-х степеней корней полинома $f(x)$. Понятно, что для целых неотрицательных $k,$ числа $s_k$ полиномиально выражаются через корни коэффициенты $f(x)$ (см. формулы Ньютона-Жирара)...

Небольшое утонение: формулы Ньютона-Жирара позволяют выразить $s_k$ во-первых, через коэффициенты (а не через корни) многочлена $f(x)$,

Да, это описка. Исправил.

Lion писал(а):

а во-вторых, это возможно только при $0\leq k \leq n$, а при $k> n$, насколько я знаю, подобных формул нет.

Формулы Ньютона-Жирара работают для всех целых положительных $k,$ если использовать тот факт, что $\Pi_m=0$ при $m>n$.