Делится - не делится

[Xenia1996]

Эту несложную, но красивую задачу я придумала сама только что.

Сколько существует натуральных чисел $n$, при которых $(50^n+(50n+1)^{50}-1)!+1$ не делится нацело на $50^n+(50n+1)^{50}$?

[Sonic86]

Условие выполняется, если $50^n+(50n+1)^{50}$ составное, а таких составных бесконечно много.

-- Пн апр 04, 2011 15:27:12 --

Например, по модулю 17 можно подобрать нужный класс вычетов...

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #431056 писал(а):

Условие выполняется, если $50^n+(50n+1)^{50}$ составное, а таких составных бесконечно много.

Верно. По теореме Вильсона, если $50^n+(50n+1)^{50}$ - является составным, то условие задачи выполнено. Достаточно доказать, что среди чисел вида $50^n+(50n+1)^{50}$ бесконечно много делятся на 3, а это следует из арифмоста:

$50^n$ - 2, 1, 2, 1, ...
$(50n+1)^{50}$ - 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...

Таким образом, при $n=6k+3$ и при $n=6k+5$ получаем число, кратное трём.

[Sonic86]

Да, я что-то трояк проморгал.
В общем случае выражение $50^n+(50n+1)^{50}$ можно заменить аналогичным выражением любой сложности - результат не изменится все равно.

[Иван_85]

Можно еще так:
$50^n+(50n+1)^{50}=50^n+C_{50}^050^{50}n^{50}+C_{50}^150^{49}n^{49}+...+C_{50}^{49}50n+C_{50}^{50}=51(50^{n-1}-50^{n-2}+50^{n-3}+...-50+1)+C_{50}^050^{50}n^{50}+C_{50}^150^{49}n^{49}+...+C_{50}^{49}50n$, $n$-нечетное.
$50^n+(50n+1)^{50}$ делится на $51$ при $n=51; 3\cdot 51; 5\cdot 51; 7\cdot 51...$