Просуммировать ряд (сумма обратных квадратов = int(...) )

[bundos]

Доказать, что $\sum\limits_{n>N}^{\infty}\frac1{n^2}=\frac4{\pi}\frac{(2N)!!}{(2N-1)!!}\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^{2N}xdx$
Подскажите как к нему подступиться лучше?

[Dan B-Yallay]

Для начала я бы попробовал разложить косинус в ряд (Маклорен), возвел бы в степень 2N (Лейбниц), помножил бы на $x^2$, да и проинтегрировал бы.

PS (Вообще-то не Лейбниц )

[bundos]

(Оффтоп)

погуглил формулу для возведения рядов в степень, нашёл рекуррентную, но по моему вряд ли она здесь прокатит

[Vince Diesel]

Можно попробовать, выразив сначала косинус через экспоненты.

[sup]

Сначала, интегрируя по частям, найдите рекуррентное соотношение для
$A_N=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2N}xdx$
Отсюда, найдете и $A_N$. Там как раз появятся отношения двойных факториалов.
Затем, интегрируя по частям, найдите рекуррентное соотношение для
$J_N=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^{2N}xdx$
Оно очень похоже на предыдущее и использует найденное $A_N$.
Из него уже легко устанавливается требуемое равенство.