Вариньон - вписать параллелограмм в четырехугольник

[Sasha2]

Известно, что в любой выпуклый четырехугольник можно вписать параллелограмм.
Но только ли один вариньоновский.
Понятно, что в прямоугольник можно вписать кучу параллелограммов.
А если рассмотреть случай "очень неправильного четырехугольника" (то есть все стороны попарно неравны между собой и все углы также попарно неравны между собой).

[bot]

Век живи - век учись. Не знал, что параллелограм образованный серединами сторон называется вариньоновский.

Конечно не только, поскольку есть 4-угольники с невариньоновыми параллелограммами: берём параллелограмм и описываем кругом его четырёхугольник, какой понравится.

Наверно хлопотно, но не должно быть неподъёмно в произвольном 4-угольнике найти параллелограм с любой заранее взятой вершиной на одной из сторон.

[Sasha2]

bot в сообщении #430801 писал(а):

Конечно не только - берём параллелограмм и описываем кругом его четырёхугольник, какой понравится.

Совершенно непонятно, что это означает.

[bot]

bot в сообщении #430801 писал(а):

Наверно хлопотно

Не, нехлопотно - через произвольную точку на стороне выпуклого проводим прямые, параллельные диагоналям ...

[Sasha2]

Это отнюдь не означает построение параллелограмма.

[bot]

Неужто векторной алгеброй не получится? Хотя и не верится, проверять неохота - поступим по-другому:

Пусть $KL$ - сторона параллелограмма, соединяющая две точки на смежных сторонах $AB$ и $BC$. Из семества прямых, параллельных $KL$ найдётся (из соображений непрерывности) прямая рассекающая угол $B$ по отрезку равному $KL$ - для этого конечно $KL$ не должен быть слишком велик - ясно насколько. В случае, если $KL$ параллелен диагонали - эти опасения излишни.

Существование одно, а построение, конечно, уже другое.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #430811 писал(а):

Это отнюдь не означает построение параллелограмма.

Означает. Две стороны (соотв., три вершины $M,N,K$) уже построены. Четвёртую вершину $L$ получаем, проводя сторону $LK$ параллельно соотв. диагонали, т.е. параллельно $MN$. Надо лишь доказать, что $MN=LK$. Ну так это ясно: если $MN=MO+ON$ и $LK=LQ+QK$, где $O$ и $Q$ -- это точки пересечения отрезков $MN$ и $LK$ диагональю исходного четырёхугольника, то уж точно $ON=QK$, и при этом $\frac{MO}{ON}=\frac{LQ}{QK}$, поскольку равно отношению тех отрезков, на которые делится вторая диагональ четырёхугольника первой.

-- Вс апр 03, 2011 17:46:19 --

bot в сообщении #430816 писал(а):

не должен быть слишком велик

Кстати, не обязательно. Можно брать любые две внутренние точки любых двух смежных сторон. В "неудачном" случае лишь окажется, что одна из сторон четырёхугольника окажется незадействованной, т.е. что одна из сторон параллелограмма будет лежать на стороне четырёхугольника. Но вписан-то он всё же будет.