Помогите решить

[DjD USB]

Что???

[VAL]

ewert в сообщении #430717 писал(а):

VAL в сообщении #430691 писал(а):

А известна ли Вам, скажем, теорема Эйлера

В ней же единичка не в ту сторону.

Разумеется. Но формулу разности квадратов, например, еще не отменили. Или я не курсе? :)

[ewert]

DjD USB в сообщении #430672 писал(а):

2)Сумма пол-х чисел $x$ и $y$ равна 1 Док-ть что:
$(x+$$\frac1x$)^2 $ +$(y+$$\frac1y$)^2 $ $$\ge $$\frac{25}{2}}$

Наверное, проще всего продифференцировать левую часть по $x$, учитывая, что $y'(x)=-1$:

$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)'_x+\left(y^2+\frac{1}{y^2}\right)'_y\cdot y'(x)=2x-\frac{2}{x^3}+\left(2y-\frac{2}{y^3}\right)\cdot(-1),$

и после приведения к общему знаменателю $(x-y)$ выносится за скобки, а всё остальное будет положительным.

[DjD USB]

Напишите как ви хотите 1 а то я не понимаю что вы хотите этим сказать

-- Вс апр 03, 2011 13:28:07 --

я учусь в 9 классе

[Sasha2]

Ну не знаю, как там в 9-м классе, но наверно тогда еще так можно попробовать:
Начните с того, что покажите, что $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \ge \frac{a+b}{2}$.
Далее из того, что $x+y=1$, покажите, что $\frac{1}{xy} \ge 4$.
Осталось в первое неравенство вместо $a$ подставить $x+\frac{1}{x}$, а вместо $b$ - $y+\frac{1}{y}$.

Сходным образом можно показать, что для положительных $x, y, z: x+y+z=1$,
справедливо неравенство $(x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2+(z+\frac{1}{z})^2 \ge \frac{100}{3}$

[ewert]

Если в лоб, то так. Пусть $x+y\equiv c$. Левая часть равна

$x^2+2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+2+\dfrac{1}{y^2}=4+(x^2+y^2)\left(1+\dfrac{1}{x^2y^2}\right)=4+(c^2-2t)\left(1+\dfrac{1}{t^2}\right),$

где $t=xy$. Зависимость от $t$ -- очевидно, монотонно убывающая, т.е. минимум достигается при максимально возможном значении $t$. Ну а уж что максимум выражения $t=x(c-x)$ достигается при $x=y=\dfrac{c}{2}$ -- это уж всем девятикласникам прекрасно известно (это просто координата вершины параболы). Отсюда следует, что и вообще для любого количества слагаемых сумма $\sum\limits_{k=1}^{n}\left(x_k+\dfrac{1}{x_k}\right)^2$ (при условии, что $x_1+x_2+\ldots+x_n=c$) достигает своего минимума, когда все иксы одинаковы, и равен этот минимум, соответственно, $\dfrac{n^3}{c^2}+2n+\dfrac{c^2}{n}$..

[DjD USB]

Мы монотонность не проходили и минимум

-- Вс апр 03, 2011 15:07:23 --

Я все понял до тогогде /Это просто координаты вершины параболы\ А дальше не понял

[ewert]

DjD USB в сообщении #430800 писал(а):

Мы монотонность не проходили и минимум

Что значит "не проходили". Там получилось два сомножителя, зависящих как-то от $t$. И если $t$ увеличивать, то каждый из этих сомножителей -- что делает?...

[DjD USB]

увеличится!?

[ewert]

DjD USB в сообщении #430810 писал(а):

увеличится!?

Так, ещё раз. Если увеличивать $t$, то что будет происходить с $(1+\frac{1}{t^2})$?...

-------------------------------------------------------------------------
Да, а для недевятиклассников разумнее всего доказывать так. Очевидно, что функция $z(x,y)=(x+\frac1x)^2+(y+\frac1y)^2$ -- строго выпукла вниз. Соответственно, такой же выпуклостью обладает и сечение этой поверхности любой вертикальной плоскостью -- вот, скажем, и плоскостью $x+y=1$. Отсюда следует, что точка минимума ровно одна (если вообще есть). А из симметрии относительно перестановки икса и игрека следует, что минимум действительно есть и достигается именно при $x=y$.

[DjD USB]

то будет уменьшаться