поточечная сходимость в С[0,1] не может быть задана метрикой

[omghero]

Почему поточечная сходимость в С[0,1] не может быть задана метрикой? Упражнение из Хелемского (стр. 25) что то я не могу понять его указания

[Oleg Zubelevich]

докахите, что последовательность $\{\cos nx\}_{n\in\mathbb{N}}\in C[0,2\pi]$
1) относительно компактна в топологии поточечной сходимости
2) не содержит поточечно сходящейся подпоследовательности

[omghero]

Oleg Zubelevich в сообщении #430630 писал(а):

докахите, что последовательность $\{\cos nx\}_{n\in\mathbb{N}}\in C[0,2\pi]$
1) относительно компактна в топологии поточечной сходимости
2) не содержит поточечно сходящейся подпоследовательности

да... я еще не достиг просветления
скажите как поточечная сходиомсть задает систему открытых множеств (тоесть топологию), или по другому, что такое топология поточечной скходимости
... и относителтная компактность, пока что я не нашл что значит относительная ...

[Oleg Zubelevich]

забыл сказать, где последовательность относительно компактна: она относительно компактна в $[-1,1]^{[0,2\pi]}$

-- Вс апр 03, 2011 10:56:25 --

omghero в сообщении #430644 писал(а):

скажите как поточечная сходиомсть задает систему открытых множеств (тоесть топологию), или по другому, что такое топология поточечной скходимости
... и относителтная компактность, пока что я не нашл что значит относительная ...

а разве у Хелемского этих понятий нет?

[MaximVD]

Oleg Zubelevich
в книге А. Я. Хелемского понятие компактности вводится значительно позже, чем начинает обсуждаться топология.

omghero
эта тема уже неоднократно обсуждалась. Например: http://dxdy.ru/topic37915.html.

[Someone]

Топология поточечной сходимости на $C([0,1])$ задаётся такой базой окрестностей.
Пусть $g_0\in C([0,1])$, $\varepsilon>0$, $K\subset[0,1]$ - любое конечное подмножество. Им сопоставляется окрестность точки $g_0$:

$$O(g_0,\varepsilon,K)=\{g\in C([0,1]):|g(x)-g_0(x)|<\varepsilon\text{ для всех }x\in K\}.$$

Базу топологии образуют всевозможные такие окрестности. Другими словами, это топология, унаследованная из тихоновского произведения $\mathbb R^{[0,1]}$ ($C([0,1])$ является там всюду плотным подмножеством).

[omghero]

Someone
Спасибо за пояснение. Да, эта топология действительно порождает поточечную сходимость

MaximVD

Цитата:

эта тема уже неоднократно обсуждалась. Например: topic37915.html.

вот это богатый форум! уже второй мой вопрос здесь обсуждался