Дифференциальное уравнение

[caesarus]

Помогите решить задачу: $y'\cos(x) - y\sin(x) = \cos(5x)$

моя попытка:
$y' - y\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\cos(5x)}{\cos(x)}$

замена: $y = uv; y' = u'v + v'u$

$u'v+ v'u - uv\tg(x) = \frac{\cos(5x)}{\cos(x)}$ (*)

$v'u - uv\tg(x) = 0$

$u(v' - v\tg(x)) = 0$

$u \ne 0$ ; $v' - v\tg(x) = 0$

$\frac{dv}{dx} - v\tg(x) = 0$

$\frac{dv}{v} - \frac{dx}{\tg(x)} = 0$

$\frac{dv}{v} = \frac{\sin(x)dx}{\cos(x)}$

$\int\frac{dv}{v} = - \int\frac{d\cos(x)}{cos(x)}$

$ln|v| = -ln|cos(x)|$

$v = \frac{1}{cos(x)}$

далее идем в пункт (*)

$u'\frac{1}{cos(x)} = \frac{\cos(5x)}{\cos(x)}$

$\frac{du}{\cos(x)dx} = \frac{\cos(5x)}{\cos(x)}$

дальше я ничего не могу придумать, подскажите....

[AKM]

Замена формул сканами на форуме не допускается. Триг. функции пишутся так: \sin x, \tg 2x , \tg (2x), итп.
Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин.
Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

[Tlalok]

Разделите переменные

[Алексей К.]

caesarus в сообщении #430282 писал(а):

$u'\frac{1}{cos(x)} = \frac{\cos(5x)}{\cos(x)}$

$\frac{du}{\cos(x)dx} = \frac{\cos(5x)}{\cos(x)}$

Я от голода всё не посмотрел, но что Вам помешало $\cos x$ в знаменателях сократить? Чуть повыше постоянная интегрирования проигнорирована.

-- 02 апр 2011, 18:51 --

Ой, как нехорошо с тангенсом поступили!

caesarus в сообщении #430282 писал(а):

$\frac{dv}{dx} - v\tg(x) = 0$

$\frac{dv}{v} - \frac{dx}{\tg(x)} = 0$

-- 02 апр 2011, 18:56 --

Но я пишу всё это, не проверив, обоснована ли эта хитрость, $y=uv$?
Припоминается, что линейное уравнение попроще должно решаться. Однородное, потом вариация постоянной? Скорей бы курица дожарилсь, тогда смогу справочник глянуть.

[caesarus]

а что не так с тангенсом? а про замену рассказал преподаватель, вариацию я еще не проходил.

-- Сб апр 02, 2011 19:05:24 --

сорри если задаю тупые вопросы, просто диф. уравнения начал только 29,03,2011

[Tlalok]

как тангенс в знаменателе оказался?
Самое интересное, что в следующей строчке у Вас правильно написано.
$\frac{\sin xdx}{\cos x}$

-- Сб апр 02, 2011 18:29:12 --

$\frac{dv}{dx} - v\tg(x) = 0$

$\frac{dv}{v} - \frac{dx}{\tg(x)} = 0$

$\frac{dv}{v} = \frac{\sin(x)dx}{\cos(x)}$


Первая и третья строчки - правильно, а вот во второй ошибка. Я не могу понять каким образом тангенс в знаменателе оказался. Может лучше эту строчку вычеркнуть за ненадобностью.

Я бы заменил ее на такую строку $\frac{dv}{dx} = v\tg(x)$

[caesarus]

ок, вычеркну.

-- Сб апр 02, 2011 19:41:14 --

не получится вычеркнуть, кнопки "Правка" нету.

[AKM]

Кнопка исчезает через час после публикации сообщения. Не будем переживать по пустякам...

[Tlalok]

Главное чтобы Вы поняли, что запись ошибочна.

[caesarus]

хорошо, я понял. А можно совет как найти $u$ из последнего выражения?

[zhekas]

последняя сирока преобразуется в
$du=\cos(5x)\,dx$
после чего интегрируется и находится u

[caesarus]

спасибо!