Негауссовость вектора из гауссовских величин

[Zo]

Привет, в Ширяеве нашел пример: Пусть $\xi_{1}$ и $\eta_{1}$ независимы, $\xi_{1}\sim\mathcal{N}(0,1),\,\eta_{1}\sim\mathcal{N}(0,1)$ Определим систему:
$(\xi,\eta)=\left\{ \begin{array}{ll}(\xi_{1},\left|\eta_{1}\right|),&\mbox{если}\quad\xi_{1}\ge 0,\\ (\xi_{1},-\left|\eta_{1}\right|),&\mbox{если}\quad\xi_{1}< 0.\end{array} \right. $
Далее там написано: нетрудно проверить, что каждая из величин $\xi$ и $\eta$ гауссовская, а вектор $(\xi,\eta)$ гауссовским не является.
Вот непонятно, почему вектор-то гауссовскиим не является?

[PAV]

Можно это показывать разными способами. Простое соображение заключается в том, что компоненты полученного вектора некоррелированы (это легко показать из симметрии), но очевидно зависимы (так как всегда принимают значения одного знака). А для компонент гауссовского вектора некоррелированность равносильна независимости.

PS То, что написано выше, неправда, см. далее.

[Zo]

PAV писал(а):

Можно это показывать разными способами. Простое соображение заключается в том, что компоненты полученного вектора некоррелированы (это легко показать из симметрии), но очевидно зависимы (так как всегда принимают значения одного знака). А для компонент гауссовского вектора некоррелированность равносильна независимости.

А т.е. например $P(\xi<0,\eta<0)=\frac1 {2}\neq P(\xi<0)\cdot P(\eta<0)=\frac 1 4$ Но некоррелированы, тогда объявялем $(\xi,\eta)$ вектором и приходим к противоречию.

Так что-то торможу, а равзве они некоррелированы $\xi$ и $\eta$?

[RIP]

Негауссовость вектора $(\xi,\eta)$ можно увидеть так. Множество знаений $2$-мерного гауссового вектора - либо плоскость, либо прямая, либо точка. В данном случае плоскость и точка сразу отпадают, а прямая не получается из-за независимости $\xi_1$ и $\eta_1$

[zrz]

RIP писал(а):

Негауссовость вектора $(\xi,\eta)$ можно увидеть так. Множество знаений $2$-мерного гауссового вектора - либо плоскость, либо прямая, либо точка. ]

простите это почему?

[Zo]

RIP писал(а):

Негауссовость вектора $(\xi,\eta)$ можно увидеть так. Множество знаений $2$-мерного гауссового вектора - либо плоскость, либо прямая, либо точка. В данном случае плоскость и точка сразу отпадают, а прямая не получается из-за независимости $\xi_1$ и $\eta_1$

А строго по определению можно как-то показать через всякие там характеристические функции.

Просто PAV все здоров написал, но я не понимаю, почему некоррелированы компоненты вектора. У меня почему-то корреляция равна единице. Я похоже где-то торможу. Пожалуйста, подскажите. (Просьба ногами не пинать за незнание элементарных вещей).
Что-то совсем тупик. Понял, что не могу посчитать ковариацию $\xi$ и $\eta$.

[RIP]

Поскольку $cov(\xi,\eta)=E|\xi_1||\eta_1|\ne0$, то некоррелированностью тут и не пахнет. Утверждение о множестве значений(оно не совсем верно) получается так.
Случайный вектор $X\in\mathbb{R}^n$ гауссовый $\Leftrightarrow$ $X\overset{\text{п.н.}}{=}C\xi+a$, где $\xi\in\mathbb{R}^k$ - вектор, компоненты которого - независимые с.в.$\sim N(0,1)$, $C$ - постоянная матрица $n\times k$ ранга $k$, $a\in\mathbb{R}^n$ - постоянный вектор. Поэтому существует $k$-мерное подпространство $M\subset \mathbb{R}^n$, что $P_X(M)=1$ и для любого подмножества $A\subset M$ положительного $k$-мерного объема $P_X(A)>0.$ Именно так и надо интерпретировать фразу о множестве значений.

[PAV]

Действительно, я наврал. Некоррелированности, конечно же, нет, раз величины всегда одного знака. Прошу прощения, что ввел в заблуждение.

[Zo]

PAV писал(а):

Действительно, я наврал. Некоррелированности, конечно же, нет, раз величины всегда одного знака. Прошу прощения, что ввел в заблуждение.

а как же тогда быть

[PAV]

RIP написал все правильно.

[Zo]

PAV писал(а):

RIP написал все правильно.

Так он сам говорит, что утверждение не совсем верное. Правда непонятно в чем

[PAV]

Утверждение для двумерного случая верное. Уточнение было дано для размерности $n$. Кроме того, уточнение касалось понятия "множество значений".

[Zo]

Спасибо за ответы. Можно мне кажется еще так: пусть $x<0\mbox{,}\,y>0$ тогда $P(\xi <x,\eta <y)=\frac{1}{2}\cdot F_{\xi}(x)\neq F_{\xi\eta}(x,y)$, где $F_{\xi\eta}(x,y)$ - функция распределения гауссовского вектора в точке (x,y) по определению, тогда вектор негауссовский по определению.

[PAV]

Последнего сообщения я не понял. Мне кажется, что в Вашем примере $P(\xi<x,\eta<y)=P(\xi<x)$. Поскольку если $\xi=\xi_1<x<0$, то по определению рассматриваемого вектора его вторая компонента $\eta=-|\eta_1|\le 0 < y$, т.е. одно событие вложено в другое.

[Zo]

PAV писал(а):

Последнего сообщения я не понял. Мне кажется, что в Вашем примере $P(\xi<x,\eta<y)=P(\xi<x)$. Поскольку если $\xi=\xi_1<x<0$, то по определению рассматриваемого вектора его вторая компонента $\eta=-|\eta_1|\le 0 < y$, т.е. одно событие вложено в другое.

$P(\xi<x,\eta<y)=P(\eta <y |\xi<x)\cdot P(\xi<x)=P(\eta \le0)\cdot P(\xi<x)$ т.к. если x<0, то ета будет неположительным.