Уравнение x^2+y^2=3^z в натуральных числах

[Xenia1996]

$x^2+y^2=3^z$
Было уже такое на форуме? Если кто найдёт, киньте ссылочку, пожалуйста.

Мне кажется, что решений нет.
Если сумма двух квадратов делится на 3, то каждый из них делится на 3, а значит и на 9. Но тогда $z>1$. Если квадрат, делящийся на 9, разделить на 9, снова получим квадарт. А z не может равняться 1 или 2, следовательно, и левую, и правую части уравнения можно разделить на 9.

Получаем новое уравнение

$x_1^2+y_1^2=3^{z_1}$
И так до бесконечности.

Не знаю, можно ли это считать доказательством. Если нет, то как можно доказать?

[Sonic86]

Число представимо в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет вид $2^a p_1^{a_1}...p_s^{a_s}q_1^{2b_1}...q_r^{2b_r}$, где все $p_j \equiv 1 \pmod 4, q_i \equiv -1 \pmod 4$, вот про $a$ забыл (точно может быть четным).
Бухштаб.
Число решений равно $\prod\limits_{j=1}^s (1+a_j)$ (для $a=0$)
И вообще рекомендую зайти в $\mathbb{Z}[i]$, там очень интересно

[worm2]

А что? Нормальное доказательство. Только поаккуратнее нужно сформулировать, что Вы в натуральных (x, y, z) числах ищете решения.
А вот это:

Xenia1996 в сообщении #430307 писал(а):

z не может равняться 1 или 2, следовательно....

даже лишнее.

-- Сб апр 02, 2011 15:41:30 --

А вот тут:

Xenia1996 писал(а):

Если сумма двух квадратов делится на 3, то каждый из них делится на 3

наоборот, можно было бы поподробнее, могут придраться.

[Sonic86]

Что-то мне подсказывает, что можно даже доказать, что для любого $n>1$ уравнение $x^n+y^n=3^z$ неразрешимо в натуральны числах

[Xenia1996]

worm2 в сообщении #430326 писал(а):

А вот тут:

Xenia1996 писал(а):

Если сумма двух квадратов делится на 3, то каждый из них делится на 3

наоборот, можно было бы поподробнее, могут придраться.

Напрямую следует из арифмоста: остаток, получаемый при делении квадрата на 3, равен либо 0, либо единичке.

[Sonic86]

Xenia1996 в сообщении #430336 писал(а):

worm2 в сообщении #430326 писал(а):

А вот тут:

Xenia1996 писал(а):

Если сумма двух квадратов делится на 3, то каждый из них делится на 3

наоборот, можно было бы поподробнее, могут придраться.

Напрямую следует из арифмоста: остаток, получаемый при делении квадрата на 3, равен либо 0, либо единичке.

Ну это просто для справки, поскольку это существенный момент. Например, для $x^2+y^2=5^z$ это уже не прокатит.

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #430335 писал(а):

Что-то мне подсказывает, что можно даже доказать, что для любого $n>1$ уравнение $x^n+y^n=3^z$ неразрешимо в натуральны числах

Евольфрамина скромно умалчивает.

Еальферина - тоже.

[Sonic86]

Xenia1996 в сообщении #430342 писал(а):

Sonic86 в сообщении #430335 писал(а):

Что-то мне подсказывает, что можно даже доказать, что для любого $n>1$ уравнение $x^n+y^n=3^z$ неразрешимо в натуральны числах

Евольфрамина скромно умалчивает.

Еальферина - тоже.

Ну разве оно Вам ничего не напоминает?!
Вообще можно попытаться и ручками порешать, ради интереса...

[Xenia1996]

worm2 в сообщении #430326 писал(а):

А вот это:

Xenia1996 в сообщении #430307 писал(а):

z не может равняться 1 или 2, следовательно....

даже лишнее.

С чего бы? Степень тройки с натуральным показателем, делённая на 9, не всегда является степенью тройки с натуральным показателем.

[worm2]

А. Я тогда неправильно понял Вашу мысль:

Xenia1996 в сообщении #430307 писал(а):

и левую, и правую части уравнения можно разделить на 9

с сохранением натуральности переменных.

[ИСН]

Sonic86 в сообщении #430335 писал(а):

Что-то мне подсказывает, что можно даже доказать, что для любого $n>1$ уравнение $x^n+y^n=3^z$ неразрешимо в натуральны числах

Ога, щас. $2^3+1^3...$

[Sonic86]

ИСН в сообщении #430419 писал(а):

Sonic86 в сообщении #430335 писал(а):

Что-то мне подсказывает, что можно даже доказать, что для любого $n>1$ уравнение $x^n+y^n=3^z$ неразрешимо в натуральны числах

Ога, щас. $2^3+1^3...$

Ааа! Затупил!!! Хотел $z=n$ еще взять
Я сильно не думал, но это уравнение тоже можно порешать..., пусть даже по гипотезе Биля $z \leq 2$.