Задача о нахождении фигуры наибольшей площади

[Ёж]

1. В фигуру, ограниченную линиями $y=x^2$, $y=2x^2$, $x=6$, вписан параллелограмм наибольшей площади так, что две его вершины лежат на прямой $x=6$, а две другие - на параболах $y=x^2$ и $y=2x^2$. Найти эту площадь.

2 . В фигуру, ограниченную линиями $y=3x$, $y=x^2$, вписан прямоугольник наибольшей площади так, что две его вершины лежат на прямой, а две другие - на параболе. Найти эту площадь.

Решение:
1. Построил функцию $S=(x-6)x^2$, где $x\in (0;6)$.
В ответе написано 32, а у меня получается 16

2. Пусть координаты самой нижней вершины прямоугольника $(x;x^2)$ (данная вершина лежит на параболе). Тогда координаты второй вершины, которая лежит на параболе $(3-x;(3-x)^2)$, координаты нижней вершины, кооторая лежит на прямой $(\frac{x+3x^2}{10};\frac{3x+9x^2}{10})$.

Может имеется более простое решение данной задачи?

[Tlalok]

1. Я построил такую же функцию и у меня получилось 32. Как вы решали?

[Алексей К.]

1. А я построил минус-такую_же_функцию, и у меня тоже 32 получилось.

[Tlalok]

Алексей К.

(Оффтоп)

Собственно говоря, я тоже от $6$ отнимал $x$. Просто приучен от конца начало отнимать, чтобы длину определить.

[maxmatem]

Ёж
В первом задании, вам необходимо исследовать полученную функцию площади на наибольшее значение.А вот на каком отрезке сами подумайте. Да и вправду , лучше писать $(6-x)$, так более корректно.

[Алексей К.]

Ёж в сообщении #430314 писал(а):

Может имеется более простое решение данной задачи?

2. Пусть $b$ — длина стороны прямоугольника, которая лежит на прямой. И $a$ — "короткая" сторона. Нормированное уравнение прямой — $\dfrac{y-3x}{\sqrt{10}}=0$. Абсциссы точек $(x,x^2)$, находящихся от прямой на расстоянии $a$, определяются уравнением $\dfrac{x^2-3x}{\sqrt{10}}=a$. Зная $x_2-x_1$, легко находим $b$...

Будет ли оно проще, не знаю, поленился дифффференцировать. Проверьте сами.

[Ёж]

упс... моя опечатка... действительно там $(6-x)$
ошибку нашел... спасибо!

-- Сб апр 02, 2011 15:46:24 --

Алексей К. в сообщении #430360 писал(а):

Ёж в сообщении #430314 писал(а):

Может имеется более простое решение данной задачи?

2. Пусть $b$ — длина стороны прямоугольника, которая лежит на прямой. И $a$ — "короткая" сторона. Нормированное уравнение прямой — $\dfrac{y-3x}{\sqrt{10}}=0$. Абсциссы точек $(x,x^2)$, находящихся от прямой на расстоянии $a$, определяются уравнением $\dfrac{x^2-3x}{\sqrt{10}}=a$. Зная $x_2-x_1$, легко находим $b$...

Будет ли оно проще, не знаю, поленился дифффференцировать. Проверьте сами.

спасибо за решение!

[Алексей К.]

И Вам спасибо за лёгкие задачки. А то тут иные такое подсовывают, забывая, что у людей выходной...