Большое (или не очень) целое число

[Xenia1996]

$n>1$ - натуральное число, более чем в 1200 раз превышающее любой из своих простых делителей.
Найти наименьшее возможное значение n.
Ответ обосновать.

[MrDindows]

$4096$ удовлетворяет условие задачи. Попробуем найти меньшее $n$.
Если простым делителем этого числа является простое число больше равное $5$, тогда $n>6000>4096$. Значит минимальное $n$ может иметь в делителях только $3$ и $2$. Если только два- это $4096$, если и три, то $3600<n<4096$ . Небольшим перебором находим единственное такое число: $3888$. Оно и является минимальным.

[Xenia1996]

MrDindows в сообщении #429750 писал(а):

Небольшим перебором...

И Вы - туда же? Я тоже перебором нашла, думала, тут народ отыщет путь покороче.

[MrDindows]

Ну не знаю, по-моему это самый оптимальный способ решения неравенства в натуральных числах:
$3600<2^a3^b<4096$
В принципе ещё можно заметить, что 243 чуть меньше чем 256. Поэтому, поделив 4096 на 256 и домножив на 243 получим число чуть меньше 4096, но больше 3600 =) Но это всёравно тот же самый перебор....

[Equinoxe]

Я решала не перебором :)
Когда дошло до 2 и 3, написала
$2^x*3^y>3*1200$
$2^x*3^y>2^4*3^2*5^2$
$2^{x-4}3^{y-2}>5^2$
x хотя бы 4, y хотя бы 2, но самое маленькое число, большее $5^2$ и выражаемое двоечками-троечками — $27=3^3$
Значит ответ $2^4*3^5=3888$

[Руст]

Equinoxe в сообщении #429860 писал(а):

Я решала не перебором :)
Когда дошло до 2 и 3, написала
$2^x*3^y>3*1200$
$2^x*3^y>2^4*3^2*5^2$
$2^{x-4}3^{y-2}>5^2$
x хотя бы 4, y хотя бы 2, но самое маленькое число, большее $5^2$ и выражаемое двоечками-троечками — $27=3^3$
Значит ответ $2^4*3^5=3888$

То, что $x\ge 4, y\ge 2$ ни откуда не следует. Например, в случае замены более 1200 раз на более 1024, вы бы получили $x\ge 10, y\ge 0$, что неверно.
Поэтому некоторый перебор нужен.

[Equinoxe]

Руст, так хитрость как раз в частности случая — 27 отличается от 25 только на 2, становится ясно, что лучше не выйдет.

[Руст]

Equinoxe в сообщении #430154 писал(а):

Руст, так хитрость как раз в частности случая — 27 отличается от 25 только на 2, становится ясно, что лучше не выйдет.

Лучше не выйдет используя неравенство $x\ge 4, y\ge 2$ (которое ни откуда не следует), именно из-за этого вы исходя от 1200 получили 25 и число 27.

[Equinoxe]

Руст, хм, и правда… Грустно :(