Маленькие вопросы по разным темам

[caxap]

В эту теме я буду задавать разные (глупые) вопросы по математике по разным темам: всё, что не поместилось в другие темы.

1. Пусть дана некоторая бесконечная последовательность, которая равномерно распределена на отрезке $[0,1]$. Я верно понимаю, что множество точек этой последовательности плотно (между любыми двумя различными есть третья)?

(Откуда это)

Есть теорема Вейля, что дробные части $n\alpha$ при натуральном $n$ и фиксированном иррациональном $\alpha$ распределены равномерно на $[0,1]$ (Грэхем "Конкретная математика", Арнольд "Математическое понимание природы"). В "Кванте" прочитал о теореме Кронекера: множество $\{m\alpha+n\mid m,n\in\mathbb Z\}$, $\alpha\in\mathbb I$ всюду плотно в $\mathbb R$. Хочу из т. Вейля вывести т. Кронекера.

[svv]

Если найдутся такие две точки, между которыми нет третьей, то плотность распределения между ними будет равна нулю. Такое распределение точно не будет равномерным.

[caxap]

svv, точно, спасибо.

Тогда моя попытка доказательства теоремы Кронекера такая (проверьте, пожалуйста):

Пусть $M=\{m\alpha+n\mid m, n\in\mathbb Z\}$, $\alpha\in \mathbb I$. Рассмотрим любые две различные точки $a,b\in M$. Рассмотрим интервал $(a',b')$, полученный смещением $(a,b)$ на целое число единиц (т. е. $a'=a+k$, $b'=b+k$, $k\in\mathbb Z$) таким образом, чтобы $a'$ попало в $[0,1)$. Обозначим $X:=(a,b)\cap (0,1)$. Если мы докажем, что $(\exists\, m',n'\in \mathbb Z)\ m'\alpha+n'\in X$, то отсюда будет следовать, что $(\exists\, m,n\in\mathbb Z)\ m\alpha+n\in (a,b)$ (а это нам и нужно).

По теореме Вейля, $(\exists m\in \mathbb N)\ \{m\alpha\}\in X$ (тут $\{\cdot\}$ -- дробная часть). То есть $m\alpha-\lfloor m\alpha\rfloor=:m'\alpha-n'\in X$, где $m',n'\in\mathbb Z$.

[_hum_]

Путано как-то написано. И потом

caxap в сообщении #421457 писал(а):

то отсюда будет следовать, что $(\exists m,n \in\mathbb{Z})m\alpha + n \in (a,b)$ (а это нам и нужно).

Если вы хотите показать плотность множества $M$ в $\mathbb{R}$, то нужно доказывать, что в любом открытом интервале $(u,v), u,v \in \mathbb{R}$ содержатся точки из $M$, а не то, что "между двумя точками из $M$ имеется точка из этого же множества".

[caxap]

_hum_ в сообщении #421476 писал(а):

Если вы хотите показать плотность множества $M$ в $\mathbb{R}$, то нужно доказывать, что в любом открытом интервале $(u,v), u,v \in \mathbb{R}$ содержатся точки из $M$, а не то, что "между двумя точками из $M$ имеется точка из этого же множества".

Возьмём интервал $(u,v)$, $u,v\in\mathbb R$. Сместим его на целое число единиц ($u'=u+k$, $v'=v+k$, $k\in \mathbb Z$), чтобы $u$ оказалось в $[0,1)$, получим интервал $(u',v')$. Пусть $X:=(u',v')\cap (0,1)$. Можно показать (так же, как выше), что существуют такие $m,n$, что $m\alpha+n\in M$ лежит внутри $X$. А значит в самом интервале $(u,v)$ есть точка из $M$ (ведь $(u',v')$ смещён на целое число).

[_hum_]

Ну, теперь больше похоже на правду.

[caxap]

Спасибо за проверку.

[caxap]

Как некоторые, наверное, заметили, у меня бывают время от времени приступы буквоедства, когда хочется разобраться в чём-то во всей строгости. (Сегодня его спровоцировали Бурбаки, Хелемский, Кутателадзе и Колмогоров.) Поэтому три вопроса (последний более жестокий, я его спрятал в оффтоп).

Вопрос 2. Почему определение функции $f:X\to Y$ несимметрично: область отправления должна равняться области определения $\mathrm{dom}\, f$, а область прибытия $\mathrm{cod} f$ равняться образу $f(X)=\mathrm{im}\, f$ не обязана? Зачем вообще нужны несюръективные функции?! А если уж и нужны, то почему не нужны функции, у которых облатсь отправления шире области определения?

Вопрос 3. Двойственным понятием к $\mathrm{dom}\, f$ является $\mathrm{im}\, f$, а не $\mathrm{cod} f$. Об этом говорят даже определения

$$\begin{align}\mathrm{dom}\, f&=&\{x\in X\mid (\exists\, y\in Y)(\(x,y)\in f)\}\\\mathrm{im}\, f&=&\{y\in Y\mid (\exists\, x\in X)(\(x,y)\in f)\}\end{align}$$

Почему же тогда терминология говорит нам об обратном: domain и codomain.

(Ведь логичнее...)

...назвать domain = область отправления, codomain = область прибытия, ??? = область определения, image = область значений.

(Вопрос 4.)

Проверьте, пожалуйста, я всё верно понимаю?

1. Отношение $R$ между множествами $M_1,\ldots,M_n$ -- это кортеж $(r,M_1,\ldots,M_n)$, где $r=\mathrm{graph}\, R\subseteq M_1\times \ldots \times M_n$ -- график отношения. Отношения между двумя множествами называются соответствиями. Это тройка $R=(r,A,B)$ из графика $r=\mathrm{graph}\, R$, области отправления $A$ (стандартного обозначения не нашёл) и области прибытия $B=\mathrm{cod}\, R$. Область определения соответствия $\mathrm{dom}\,R=\{a\in A\mid (\exists\, b\in B)((a,b)\in r)\}$, область значений (= образ = носитель) $\mathrm{im}\,R=\{b\in B\mid (\exists\, a\in A)((a,b)\in r)\}$.

Упрощение 1. Для удобства отождествляют отношение $R$ с его графиком $r$.

3. Функция -- это соответствие $F=(f,A,B)$ такое, что $\mathrm{dom}\,f=A$ и $((a,b')\in f)\land ((a,b'')\in f)\ \Rightarrow\ b'=b''$.

Вопрос: как быть с упрощением 1? Если мы отождествим функцию с графиком, то автоматически станут бессмысленны свойства типа сюръективности.

4. Множество всех функций из $A$ в $B$ обозначается $B^A$ (декартова степень; если принять упрощение 1, то $B^A=B\times\ldots \times B$ ($A$ множителей)).

5. (Немножко влезем в теории категорий, для связей.) Множество всех морфизмов в некоторой категории между двумя объектами $A,B$ обозначается $\mathrm{Hom}(A,B)=A\to B$. Вместо $f\in (A\to B)$ пишут $f:A\to B$. В категории множеств $\mathrm{Hom}(A,B)=B^A$.

[MaximVD]

Вопрос 2. Напишу свои доводы в пользу стандартного определения.
Сперва предположим, что область определения совпадает с $X$, а множество значений есть в точности образ отображения $f$. Тогда, чтобы корректно определить функцию Вы должны при её определении уже знать $\mathrm{im}\, f$. Пример: мы исследуем вариационную задачу и на пространстве непрерывно дифференцируемых функций задан функционал $I \colon x \to \int_0^1 f( x(t), \dot{x}(t), t) \, dt$, где функция $f$ непрерывна по совокупности переменных. Крайне затруднительно для произвольной функции $f$ найти чему равно $\mathrm{im}\, f$. Второй пример: пусть функция $f$, в стандартной терминологии действует из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ (в предлагаемой Вами терминологии $f \colon \mathbb{R} \to f(\mathbb{R})$). Чтобы мы могли говорить о полном прообразе какого-нибудь множества, необходимо, чтобы оно содержалось в множестве значений функции $f$, т.е. теперь в $f(\mathbb{R})$, а не в $\mathbb{R}$.
Теперь попробуйте аккуратно дать определение, например, измеримости функции $f$ (относительно меры Лебега). Сразу возникают определённые затруднения. Их, конечно, можно обойти дополнительными оговорками, но ведь такие сложности возникнут не только в определении измеримости, а во всех определениях и всех доказательствах, где используется понятие полного прообраза. А это понятие используется очень часто.
Т.е., если мы считаем что множество значений функции должно совпадать с её образом, то сразу же возникает уйма неудобств, которые и обходит классическое определение.

Пусть теперь у функции область отправления шире, чем область определения. Но ведь, чтобы работать с этой функций Вам всё равно нужно знать её область определения, т.к. нужно знать каким $x \in X$ функция $f$ "что-то сопоставляет из $Y$". И значит, нужно отдельно дополнительно указывать область определения функции. Поэтому, наверное, чтобы отдельно это не оговаривать, было решено включить область определения функции в само определение функции.

Вопрос 4. 5. Да, Вы правы.

[caxap]

MaximVD
2. Убедительно. Спасибо.

MaximVD в сообщении #430704 писал(а):

Вопрос 4. 5. Да, Вы правы.

Спасибо. Посмотрев на ответ с позиции пессимиста, задам вопрос: в пунктах 1--4 я бред написал?

[MaximVD]

caxap в сообщении #430755 писал(а):

Спасибо. Посмотрев на ответ с позиции пессимиста, задам вопрос: в пунктах 1--4 я бред написал?

Нет, почему, не бред.
3. Мне кажется, что соответствие отождествлять с его графиком довольно удобно, если рассматривать именно соответствие "в целом". Если же рассматривать конкретно функции, то всё же удобнее считать, что и область определения и множество значений входят в определение функции. Иначе, как Вы сказали, свойства вроде сюръективности станут бессмысленными.
4. В голову пришла такая аналогия. Возьмём и введём множество $B_a = \{ (b, a) \mid b \in B \}$, $a \in A$. Тогда прямое произведение $\prod_{a \in A} B_a$ можно отождествить с множеством всех отображений из $A$ в $B$.

(Оффтоп)

В происхождении терминологии я не силён, поэтому на Вопрос 3 ответить несмогу.

[caxap]

Ещё один буквоедческий вопрос:

5. Пусть $f:\mathbb R\to\mathbb R$ -- дифференцируемая функция. Что значит запись типа $\dfrac{df}{dx}$? Ведь $f$ "не знает" ни о каком $x$. То есть какую роль играет символ $x$?

(Оффтоп)

Я тут подумал... Наверное, наиболее "правильно" ссылаться на переменную по её номеру. Скажем, частная производная функции $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ по 2-й и 3-й переменной. Когда мы пишем $\dfrac{\partial f}{\partial y\partial z}$ мы неявно ссылаемся на определение фунции $f$ в виде формулы $f(x,y,z)=...$. А что, если такого определения нет?

[Joker_vD]

caxap
5. Ну да, правильнее писать $\frac{df(x)}{dx}$. Но такая запись (в дифференциалах) обычно нужна только физикам, а у них обозначения гораздо менее строгие.

[arseniiv]

Классный вопрос! Вот потому я как-то спрашивал о том, почему в математике так мало $\lambda$-выражений.

Joker_vD, когда мы пишем $\frac{df(x)}{dx}$, мы уже получаем не функцию, а формулу. Нам нужно не это, а вот это: $f' = \lambda x . \frac{df(x)}{dx}$, но, по той теме я убедился, что в математике устоявшихся обозначений покороче вроде бы и нет. Которые бы включали в себя $d$ как-нибудь естественно, а не как у меня тут.

-- Вс апр 10, 2011 23:11:10 --

Ладно же, с функциями одной переменной можно обойтись штрихами. А вот для многих переменных…

-- Вс апр 10, 2011 23:14:56 --

А Бурбаки касались этой темы и вводили такой несомненно нужный здесь формализм? Интересно, как бы в их обозначениях выглядело, хотя я дальше какой-то там главы не смог читать самый первый том.

[MaximVD]

arseniiv
Заглянул в книгу Бурбаки - Функции вещественного переменного. Они сначала определяют производную в точке $x_0$ и обозначают её $f'(x_0)$, а потом пишут, что функция $x \to f'(x)$, определённая на некотором интервале, называется производной функции $f$ и обозначается $f'$, $Df$ или $\dfrac{d}{dx} f$.