Вопросы по синтаксису Бурбаки

[creative]

Попробовал почитать Бурбаки "Теория множеств", но к сожалению, не осилил даже первый параграф, где обсуждается синтаксис

Очень хотелось бы найти описание синтаксиса Бурбаки на более простом уровне (т.е. в изложении их синтаксиса другими авторами).

[Padawan]

По-моему тут ничего не поделаешь. Если хочешь читать Бурбаки, то придется продираться через обозначения.

[zkutch]

creative в сообщении #429437 писал(а):

Попробовал почитать Бурбаки "Теория множеств", но к сожалению, не осилил даже первый параграф, где обсуждается синтаксис

Очень хотелось бы найти описание синтаксиса Бурбаки на более простом уровне (т.е. в изложении их синтаксиса другими авторами).

а вы задавайте конкретные вопросы.
Прорвемся ...
эта книга многое дает мне несмотря (а может благодаря) тому, что много раз, уже сколько лет, возвращаюсь к ней.

[creative]

zkutch

Есть проблемы с пониманием подстановки. В "Теория множеств :: гл. 1 :: §1 :: п. 1 (Знаки и знакосочетания)" оно определяется как:

Цитата:

Пусть $A$ и $B$ - знакосочетания, а $x$ - буква. Знакосочетание, получаемое при замене буквы $x$, каждого ее экземпляра в $A$, знакосочетанием $B$, обозначается через $(B | x)A$ (читать: "$B$ замещает $x$ в $A$").

(фраза "пусть $x$ - буква" означает у них "пусть $x$ обозначает некоторую букву")

Далее (тут я пишу $\rVert$, в книге используется волнистая вертикальная черта, которую плагин по видимому не поддерживает, я о \lwavy ):

Цитата:

Если нам надо знакосочетание $A$ и мы особенно интересуемся какой-нибудь буквой $x$ или двумя разными буквами $x$ и $y$ (которые могут встречаться или не встречаться в $A$), мы часто будем писать $A \rVert x \rVert$ или $A \rVert x, y \rVert$. В этом случае мы пишем $A \rVert B \rVert$ вместо $(B | x)A$. Символ $A \rVert B, C \rVert$ означает знакосочетание, получаемое при одновременной замене буквы $x$ знакосочетанием $B$ и буквы $y$ знакосочетанием $C$ во всех местах их появления в $A$ (заметим, что $x$ и $y$ могут встречаться в $B$ и в $C$);

Далее в п. 2 "Критерии подстановки":

Цитата:

CS2. Пусть $A$, $B$ и $C$ - знакосочетание, $x$ и $y$ - разные буквы. Если $y$ не встречается в $B$, то $( B | x )( C | y )A$ тождественно с $( C' | y )( B | x )A$, где $C'$ - знакосочетание $( B | x )C$.

Итак вопросы:

1) Обозначение пишется $A \rVert B \rVert$ вместо $(B | x)A$ только по данному контексту (то есть в другом контексте $A \rVert B \rVert$ будет означать другое) или же данное обозначение всегда означает $(B | x)A$?

2) В п. 1 они пишут про то, что запись вида $( B | x )( C | y )A$ означает (когда они упоминают про $A \rVert B, C \rVert$) одномеременную замену букв знакосочетаниями (что звучит достаточно запутанно в случае, если $x$ и $y$ встречаются не только в $A$), однако в п. 2 в CS2 в частности ясно, что замена не одновременная а идет в порядке справа на лево. Как же в итоге вычисляется $( B | x )( C | y )A$? Ясно что ответ на этот вопрос зависит от ответа на первый вопрос.

3) В каком контексте в книге говорится о буквах, это только переменные или нет?

Есть ещё другие вопросы по п. 1, но хотя бы разрешить первые три, из-за которых я собственно и застопорился.

P.S. Я брал из текста книги с http://lib.mexmat.ru/books/1156

[Toucan]

Тема переименована по просьбе автора

[zkutch]

Toucan в сообщении #429581 писал(а):

Тема переименована по просьбе автора

и новое название ? ...

[creative]

zkutch

Ветка эта же осталось. Просто название я попросил изменить.

[zkutch]

Сперва по обозначениям – я нашел вертикальную волну "⌇" в фонте Mathcad UniMath называется WAVY LINE. Вроде подходит и в браузере ее у меня видно. Если видно и вам, можно, например, просто копировать где нужно.

Итак, теперь ответы (у меня книга и скан 1965г.):
На 33стр. есть определение символа A⌇B⌇: когда мы особенно интересуемся буквой x (т.е. буквой обозначенной через х) в знакосочетании A, то мы пишем A⌇x⌇. И в этом случае вместо (B|x)A мы пишем A⌇B⌇. Если мы будем интересоваться другой буквой z отличной от x (т.е. другой буквой обозначенной на этот раз через z), то, разумеется A⌇B⌇ будет, вообще говоря, уже другое знакосочетание. Хотя они могут совпадать например когда в А нет обеих букв z и x , но в общем случае будут различными. Пишите обязательно, если что еще кажется сомнительным в этом моменте.

Пока буду разбирать ваш второй вопрос позвольте прояснить следующее: в ВАШЕМ тексте есть запись
"...В п. 1 они пишут про то, что запись вида $( B | x )( C | y )A$ означает ..."
но в пункте 1 всего три страницы и такой записи там нет. В чем дело?

[creative]

zkutch в сообщении #429784 писал(а):

Сперва по обозначениям – я нашел вертикальную волну "⌇" в фонте Mathcad UniMath называется WAVY LINE. Вроде подходит и в браузере ее у меня видно. Если видно и вам, можно, например, просто копировать где нужно.

Да, у меня видно этот символ. Проблема только в том, что он не воспринимается в тегах math.

zkutch в сообщении #429784 писал(а):

Итак, теперь ответы (у меня книга и скан 1965г.):
На 33стр. есть определение символа A⌇B⌇: когда мы особенно интересуемся буквой x (т.е. буквой обозначенной через х) в знакосочетании A, то мы пишем A⌇x⌇. И в этом случае вместо (B|x)A мы пишем A⌇B⌇. Если мы будем интересоваться другой буквой z отличной от x (т.е. другой буквой обозначенной на этот раз через z), то, разумеется A⌇B⌇ будет, вообще говоря, уже другое знакосочетание. Хотя они могут совпадать например когда в А нет обеих букв z и x , но в общем случае будут различными. Пишите обязательно, если что еще кажется сомнительным в этом моменте.

Хотя $A$⌇$B$⌇ будет обозначать разные знакосочетания, если буквы обозначенные через $x$ и $y$ разные и встречаются в $A$, в обоих этих случаях $A$⌇$B$⌇ есть в общем случае $(B | \beta)A$, где $\beta$ есть буква, которой мы интересуемся в зависимости от контекста.
То есть всегда $A$⌇$B$⌇ вне зависимости от контекста изображает то, что $B$ замещает интересущую нас букву (какую именно уже зависит от контекста) в $A$.

Правильно ли я понял, что $A$⌇$B$⌇ всегда означает замещение, а на что мы замещаем уже зависит от контекста?

zkutch в сообщении #429784 писал(а):

Пока буду разбирать ваш второй вопрос позвольте прояснить следующее: в ВАШЕМ тексте есть запись
"...В п. 1 они пишут про то, что запись вида $( B | x )( C | y )A$ означает ..."
но в пункте 1 всего три страницы и такой записи там нет. В чем дело?

Там такой записи в явном виде нет. Но если я правильно понял, что под $A$⌇$B, C$⌇ всегда подразумевается замещение интересующих нас букв, то $A$⌇$B, C$⌇ обозначает $( B | x )( C | y )A$.
Именно поэтому я там написал в скобках:

Цитата:

2) В п. 1 они пишут про то, что запись вида $( B | x )( C | y )A$ означает (когда они упоминают про $A \rVert B, C \rVert$) ...

Но если я неправильно понял, то я незнаю, что тогда вообще означает взятие в ⌇⌇.

[zkutch]

creative в сообщении #429832 писал(а):

...Правильно ли я понял, что $A$⌇$B$⌇ всегда означает замещение, а на что мы замещаем уже зависит от контекста?...

Да, верно. Единственное давайте договоримся о слове "контекст" - у нас заранее объявлена буква, которой мы интересуемся и мы ее-то и замещаем. И, пожалуйста осторожнее с словами, мы в раю формализма. Если вы под "контекст"-ом захотите обозначить что-нибудь и когда-нибудь другой смысл, то мы должны будем о нем еще раз поговорить.
дальше

Цитата:

если я правильно понял, что под $A$⌇$B, C$⌇ всегда подразумевается замещение интересующих нас букв, то $A$⌇$B, C$⌇ обозначает $( B | x )( C | y )A$

уже неверно. A⌇B,С⌇ это одновременное замещение двух букв, заранее выбранных х и у, в то время как (B|x)(C|y)A это последовательная замена. Вы уже поняли или мне расписать поподробнее?
Давайте не идти дальше, пока здесь не будет ясно все.

[creative]

zkutch в сообщении #429854 писал(а):

Да, верно. Единственное давайте договоримся о слове "контекст" - у нас заранее объявлена буква, которой мы интересуемся и мы ее-то и замещаем. И, пожалуйста осторожнее с словами, мы в раю формализма. Если вы под "контекст"-ом захотите обозначить что-нибудь и когда-нибудь другой смысл, то мы должны будем о нем еще раз поговорить.

Да, именно так контекст я и понимал в частном случае с обозначением ⌇⌇.

zkutch в сообщении #429854 писал(а):

уже неверно. A⌇B,С⌇ это одновременное замещение двух букв, заранее выбранных х и у, в то время как (B|x)(C|y)A это последовательная замена. Вы уже поняли или мне расписать поподробнее?

Вопросы по поводу обозначения $A$⌇$B,C$⌇ и одновременной замене букв:

* Если $A$⌇$B,C$⌇ означает замену $\alpha$ знакосочетанием $B$ в только в исходном $A$ и замену $\beta$ знакосочетанием $C$ в только в исходном $A$ и при этом замена $\alpha$ и $\beta$ происходит одновременно, то тогда получается, что если $\alpha$ встречается в $C$ и $\beta$ встречается в $B$, то знакосочетание $A$⌇$B,C$⌇ получается только заменой $\alpha$ на $B$ в $A$, и $\beta$ на $C$ в $A$, но никак не заменой $\alpha$ на $B$ в $A$, и $\beta$ на $C$ в уже полученном при замене $\alpha$ знакосочетании, и никак не заменой $\beta$ на $C$ в $A$ и $\alpha$ на $B$ в уже полученном при замене $\beta$ знакосочетании. Правильно ли это?
* Если ответ на предыдущий вопрос утвердительный, то есть я понял значение $A$⌇$B,C$⌇ правильно, то тогда как можно обозначить в общем случае $A$⌇$B,C$⌇ используя нотацию $(\ |\ )$?

Вопрос по поводу обозначений вида $(\Phi|\alpha)(\Psi|\beta)\Sigma$:

* Из п. 2 я заметил, что $(B|x)(C|y)A$ значит $(B|x)\ [\ (C|y)A\ ]$, где $[$ и $]$ выполняют роль скобок в плане порядка выполнения. То есть $(B|x)\ [\ (C|y)A\ ]$ означает, что $C$ заменяет $y$ в $A$ и в уже полученном в результате замены буквы $y$ знакосочетании $B$ замещает $x$. То есть порядок применения идет справа на лево. Правильно ли я понимаю?
* Если да, то откуда из текста автора именно такой порядок замены явно следует?

zkutch в сообщении #429854 писал(а):

Давайте не идти дальше, пока здесь не будет ясно все.

Конечно, так как не люблю изучать дальше, если нет ясного понимания того, что прочитано до этого момента.

[zkutch]

creative в сообщении #429876 писал(а):

* Если $A$⌇$B,C$⌇ означает замену $\alpha$ знакосочетанием $B$ в только в исходном $A$ и замену $\beta$ знакосочетанием $C$ в только в исходном $A$ и при этом замена $\alpha$ и $\beta$ происходит одновременно, то тогда получается, что если $\alpha$ встречается в $C$ и $\beta$ встречается в $B$, то знакосочетание $A$⌇$B,C$⌇ получается только заменой $\alpha$ на $B$ в $A$, и $\beta$ на $C$ в $A$, но никак не заменой $\alpha$ на $B$ в $A$, и $\beta$ на $C$ в уже полученном при замене $\alpha$ знакосочетании, и никак не заменой $\beta$ на $C$ в $A$ и $\alpha$ на $B$ в уже полученном при замене $\beta$ знакосочетании. Правильно ли это?.

сначала нужно утверждение, что $\alpha$ и $\beta$ разные буквы и мы рассматриваем A⌇$\alpha$,$\beta$⌇. Потом все верно. Допустим мы подчеркнем красным цветом букву $\alpha$ в А и синим цветом букву $\beta$ опять в А. И только в А. Теперь меняйте подчеркнутое красным на В, а подчеркнутое синим на С, не обращая внимание на состав В и С.

Цитата:

то тогда как можно обозначить в общем случае $A$⌇$B,C$⌇ используя нотацию $(\ |\ )$?

Ну насчет очень всеобщего случая как-то не задумывался, а вот досточно общий случай есть у нас на странице 33, перед мелко набранным "замечанием". Если хотите, разберем и эту запись.

теперь о записи вида $(\Phi|\alpha)(\Psi|\beta)\Sigma$
по моему тут вас сбивает просто сходство с ассоциативностью. Но там две одинаковые алгебраические операции между тремя объектами и группировать их можно либо по первой либо по второй, а тут? Разве у нас есть определение (B|x)(C|y) ? Запись $(\Phi|\alpha)(\Psi|\beta)\Sigma$ понимается в единственном смысле и явно это не нуждается в написании, хотя, разумеется, можно было бы.
Копаем дальше ...

[creative]

zkutch в сообщении #429905 писал(а):

Ну насчет очень всеобщего случая как-то не задумывался, а вот досточно общий случай есть у нас на странице 33, перед мелко набранным "замечанием". Если хотите, разберем и эту запись.

Запись вроде понятная (в плане тождественности $A$⌇$B,C$⌇ и $(B|x')(C|y')(x'|x)(x'|y)A$), только я не совсем понял к чему автор это написал.

По поводу этого предложения есть ещё одна неоднозначность:

Цитата:

если $x'$ и $y'$ - буквы, отличные от $x$ и $y$ и друг от друга и не встречающиеся ни в $A$, ни в $B$, ни в $C$, то $A$⌇$B,C$⌇ есть не что иное, как $(B|x')(C|y')(x'|x)(x'|y)A$.

Но они не написали о том, что если $x$ и $y$ обозначают одинаковые буквы, то такая тождественность уже не будет выполнятся.

zkutch в сообщении #429905 писал(а):

теперь о записи вида $(\Phi|\alpha)(\Psi|\beta)\Sigma$
по моему тут вас сбивает просто сходство с ассоциативностью. Но там две одинаковые алгебраические операции между тремя объектами и группировать их можно либо по первой либо по второй, а тут? Разве у нас есть определение (B|x)(C|y) ? Запись $(\Phi|\alpha)(\Psi|\beta)\Sigma$ понимается в единственном смысле и явно это не нуждается в написании, хотя, разумеется, можно было бы.
Копаем дальше ...

То есть правильно ли я теперь понимаю, что $(\Phi|\alpha)(\Psi|\beta)\Sigma$ есть $(\Phi|\alpha)\Gamma$, где $\Gamma$ есть знакосочетание обозначаемое $(\Psi|\beta)\Sigma$, то есть $\Gamma$ получается, когда $\Psi$ замещает $\beta$ в $\Sigma$?

[zkutch]

Да, теперь вроде все хорошо и правильно. Только я бы не употреблял слов "неоднозначность" - оно обозначает запись которую можно понимать минимум двусмысленно. А здесь всего лишь не рассмотрен тот случай на который вы обратили внимание, т.е. когда х и у это одна и та же буква. Но то что написанно, то же верно.

И такой отдельный вопрос - книга, которой вы пользуетесь, как по качеству? Нельзя ли ее мне на почту или выложить где для скачивания. Мой вариант вроде не очень хороший.

продолжаем?..

[creative]

zkutch в сообщении #429983 писал(а):

И такой отдельный вопрос - книга, которой вы пользуетесь, как по качеству? Нельзя ли ее мне на почту или выложить где для скачивания. Мой вариант вроде не очень хороший.

Я беру вот тут. А конкретней вот тут.
А вообще я купил бумажную книжку (от издательства URSS), так как в основном привык читать бумажные книги.

zkutch в сообщении #429983 писал(а):

продолжаем?...

Да.

А именно есть вопрос, который я раньше обозначил третьим:

Цитата:

3) В каком контексте в книге говорится о буквах, это только переменные или нет?

А после примера в п. 1 (стр. 32 мелкий шрифт) осознаю, что это не переменные, а что-то другое, но что именно не понимаю до конца:

Цитата:

Напротив, $\int_{0}^{1} f(x) dx$ изображает знакосочетание, в котором буква $x$ (ровно как и буква $d$) не содержится.

То есть общий вопрос такой: что автор книги подразумевает под буквами в знакосочетаниях?