Можно ли решить такое диф. уравнение аналитически

[alexey007]

Нужно решить такое уравнение, $y''+\frac{y'}{x}+\frac{a}{y^3}+b=0$
Есть ли метод, с помощью которого можно найти его аналитическое решение?

[mihailm]

Есть простенький очень действенный, правда не быстрый, метод решения ОДУ)
найти дифур в книге Камке справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям
если он там есть то у уравнения есть аналитическое решение там и указанное, иначе аналитического решения нет)

Есть еще новый справочник Зайцева и Полянина но про него ничего сказать не могу

[Yurii]

при b = 0, очевидно, можно, найдя частное решение y = cx^d
при всех b - не знаю

[Padawan]

Можно найти допустимую группу преобразований, посмотреть при каких значениях параметров a, b она оказывается нетривиальной. Я бы сделал, но мне сейчас некогда. Можете почитать Н.Х. Ибрагимов - Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений, сами научитесь, если не умеете, полезная вещь.

[alexey007]

Спасибо Padawan!!!! Книжка супер, никогда не слышал о ней. Но только не до конца все понятно)))

Я так понимаю нужно с начало найти общее решение определяющих уравнений.
Вот что я пока сделал:
$f(x,y,y')=-\frac{y'}{x}-\frac{a}{y^3}-b$
далее находим
$f_x=\frac{y'}{x^2};f_y=\frac{3a}{y^4};f_{y'}=-\frac{1}{x}$
потом все подставляем в определяющее уравнение
$\eta_{xx}+(2\eta_{xy}-\xi_{xx})y'+(\eta_{yy}-2\xi_{xy})y'^2-y'^3\xi_{yy}+(\eta_y-2\xi_x-3y'\xi_y)(-\frac{y'}{x}-\frac{a}{y^3}-b)+[\eta_x+(\eta_y-\xi_x)y'-y'^2\xi_y]\frac{1}{x}-\xi\frac{y'}{x^2}-\eta\frac{3a}{y^4}=0$
далее получаем 4 уравнения(приравнивая члены при одинаковых степенях $y'$):
$(y')^3$ :$\xi_{yy}=0$
$(y')^2$ :$\eta_{yy}-2\xi_{xy}+\frac{2}{x}\xi_y=0$
$(y')^1$ :$2\eta_{xy}-\xi_{xx}+(\frac{\xi}{x})_x+3(\frac{a}{y^3}+b)\xi_y=0$
$(y')^0$ :$\eta_{xx}-(\eta_y-2\xi_x)(\frac{a}{y^3}+b)+\frac{\eta_x}{x}-\eta\frac{3a}{y^4}=0$
Из первых двух уравнений можно получить:
$\xi=p(x)y+a(x)$
$\eta=(p'-\frac{p}{x})y^2+q(x)y+b(x)$
хотя с учебником у меня не совпадает!!!!
В учебнике функция $\eta=(p'-\frac{p}{x})y^2+2(a'-\frac{a}{x})y+q(x)y+b(x)$;

Дальше не знаю, как делать((((((

[Padawan]

alexey007 в сообщении #432030 писал(а):

Из первых двух уравнений можно получить:
$\xi=p(x)y+a(x)$
$\eta=(p'-\frac{p}{x})y^2+q(x)y+b(x)$

А из вторых двух? Надо всем определяющим уравнением удовлетворить. В итоге функции $\xi(x,y)$ и $\eta(x,y)$ должны зависеть не более, чем от восьми вещественных параметров.