Правильных многогранников только пять

[arseniiv]

(Я про евклидову геометрию.) Как-то у меня придумалось довольно простое доказательство (кстати, до сих пор не видел почему-то ни одного). А у вас есть такое же простое?

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #428147 писал(а):

(Я про евклидову геометрию.) Как-то у меня придумалось довольно простое доказательство (кстати, до сих пор не видел почему-то ни одного). А у вас есть такое же простое?

В каждой вершине сходится не менее трех граней, и сумма углов должна быть меньше $2\pi$.

[Утундрий]

Где-то в чем-то до ужаса популярном натыкался на доказательство через формулу Эйлера (которая про вершины-ребра-грани). Наверное трудно еще проще придумать.

[arseniiv]

Xaositect в сообщении #428151 писал(а):

В каждой вершине сходится не менее трех граней, и сумма углов должна быть меньше $2\pi$

Аккурат то же, что получилось тогда у меня. Хотел узнать, из каких многоугольников можно сделать модель гиперболической плоскости, а потом получил три замощения обычной плоскости и многогранники! Аж удивился, хотя всё логично.

-- Пн мар 28, 2011 01:04:02 --

Притом неравенство, которое исследовал, порадовало ещё тем, что двойственные многогранники и двойственные замощения плоскости просто в ней отображаются: оно симметрично относительно переменных, которые там были (число сторон и число сходящихся в вершине рёбер). Тоже порадовало.

[AD]

Утундрий в сообщении #428166 писал(а):

Где-то в чем-то до ужаса популярном натыкался на доказательство через формулу Эйлера (которая про вершины-ребра-грани). Наверное трудно еще проще придумать.

Ну если еще доказать (а, для начала, сформулировать) формулу Эйлера, то, пожалуй, да, дальше уже проще быть не может.

[Circiter]

2AD

Цитата:

Ну если еще доказать (а, для начала, сформулировать) формулу Эйлера

Вроде-бы она тоже элементарно выводится (если конечно не вдаваться в подробности типа взаимоотношений поверхности и жордановых петель на ней :) ).

[ewert]

Да, элементарно: выкидываем поочерёдно то рёбра, то лишние вершины, пока не останется две вершины и два ребра.

Но дальше два момента. Во-первых, из формулы Эйлера существование только пяти многогранников следует не так уж быстро и не так уж очевидно (хотя и элементарно, конечно). Во-вторых, этим будет лишь доказано, что может существовать не более пяти правильных многогранников, а что они все действительно реализуются -- с этим придётся разбираться отдельно.

[Утундрий]

ewert в сообщении #428660 писал(а):

будет лишь доказано, что может существовать не более пяти правильных многогранников, а что они все действительно реализуются -- с этим придётся разбираться отдельно

Пардон, не то что реализуются, а то что правильные, потребует дополнительных телодвижения. То что запрошенные однородные разбиения (в каждой вершине - одно и то же число ребер/граней, каждая граница грани содержит одно и то же число вершин/ребер и т.д.) реализуются - будет получено в ходе нахождения целочисленных решений записанной системы уравнений.

[ewert]

Утундрий в сообщении #428905 писал(а):

То что запрошенные однородные разбиения (в каждой вершине - одно и то же число ребер/граней, каждая граница грани содержит одно и то же число вершин/ребер и т.д.) реализуются - будет получено в ходе нахождения целочисленных решений записанной системы уравнений.

Даже и это, строго говоря, не факт. То, что любая комбинация ГВР, удовлетворяющая эйлеровой характеристике сферы, реализуема -- это тоже некая теорема, и не такая уж и тривиальная (это где-то конец 19-го века, если не ошибаюсь).

В общем, я про то, что тупой перебор, основанный на суммах углов -- наверное, действительно проще выйдет. Если исходить только из элементарных соображений. Раз уж без этого перебора всё равно никак не обойтись.

[VAL]

ewert в сообщении #428660 писал(а):

Да, элементарно: выкидываем поочерёдно то рёбра, то лишние вершины, пока не останется две вершины и два ребра.

Это как?! Расскажите.

Обычно сначала "растягивают" многогранник на плоскость. А из полученного плоского графа уже выбрасывают вершины и ребра. Но при этом две вершины и два ребра (это уже не граф, а мультиграф получается) простым выкидыванием вершин и ребер никак не получить. Можно получить стягиванием. Но зачем?
Простым выкидыванием вершин и ребер легко добраться до простого цикла или одновершинного графа. Для каждого из них теорема Эйлера очевидна.

[ewert]

VAL в сообщении #429007 писал(а):

Это как?! Расскажите.

Да как угодно. Идеология-то в любом случае одинакова.

Натягиваем граф на сферу. Если есть вершины, в которых сходятся только два ребра -- выкидываем эти вершины, сшивая соответствующие рёбра (с ограничением: до тех пор, пока количество вершин остаётся не меньше двух). Затем (если количество рёбер опять же больше двух) выкидываем любое из рёбер. Зацикливаем этот процесс. На каждом шаге эйлерова характеристика не меняется, и рано или поздно останется ровно две вершины, два ребра и, соотв., две грани.

[VAL]

ewert в сообщении #429017 писал(а):

VAL в сообщении #429007 писал(а):

Это как?! Расскажите.

Да как угодно. Идеология-то в любом случае одинакова.

Натягиваем граф на сферу. Если есть вершины, в которых сходятся только два ребра -- выкидываем эти вершины, сшивая соответствующие рёбра ...

То есть все-таки стягиванием. Тогда понятно.

[ewert]

(Оффтоп)

VAL в сообщении #429187 писал(а):

То есть все-таки стягиванием.

Ну только не стягиванием, а всё-таки натягиванием. Ведь гомеоморфность-то того многогранника именно сфере -- принципиальна. А уж какими конкретно словами всё это оформлять -- второстепенно.

[Munin]

А вот в 4-мерном евклидовом пространстве существует только шесть правильных многогранников - таких, 3-грани которых - правильные многогранники.

А сколько существует таких, 3-грани которых - полуправильные?

[Утундрий]

Munin в сообщении #429304 писал(а):

А вот в 4-мерном евклидовом пространстве существует только шесть правильных многогранников - таких, 3-грани которых - правильные многогранники.

Гомеоморфных трехмерной сфере?