Об ускорениях при выполнении летчиком петли Нестерова

[Alfucio]

Здравствуйте!

Задание: будем считать, что при выполнении петли Нестерова самолет движется по окружности, входит в петлю и выходит из нее в одной точки пространства. Равны или различны ускорения в данной точке в момент входа и выхода из петли?

Мне кажется, что ускорения будут различны: во время входа ускорение «больше направлено вверх», так как нужно «стремиться вверх», а во время выхода из петли ускорение лишь требуется для того, чтобы сохранять движение вперед.

Подскажите, пожалуйста, прав ли я, и как более формально решить задачу?

Заранее спасибо!

[Munin]

Почитайте кинематику движения по заданной траектории.

Для точки, движущейся по заданной линии, ускорение складывается векторно из двух слагаемых: тангенциального (касательного) и нормального. Тангенциальное определяется изменением модуля скорости в момент прохождения данной точки, а нормальное - самим модулем скорости в этот момент. И кривизной траектории, которая может считаться известной.

Так что если траектория задана, и является окружностью, то кривизна траектории в начале и в конце движения по окружности одна и та же, и если сохраняются остальные параметры (скорость и производная скорости по времени), то и ускорения в этой точке равны.

Если рассматривать петлю как окружность, до и после которой движение происходило строго по прямой линии, вопрос про ускорение становится некорректным: кривизна траектории терпит разрыв (от нуля до $1/R$ и обратно до нуля) именно в точке входа в петлю и выхода из неё, и вместе с ней терпит разрыв и нормальное ускорение. Так что необходимо заменить точные окружность и прямую на что-то более реалистичное со сглаженной функцией кривизны.

[Alfucio]

Подскажите, пожалуйста:

1) Если самолет просто летит «вперед» с одинаковой скоростью, то в рамках кинематике считается, что ускорение равно нулю (то есть вопрос про притяжение не рассматривается?)?

2) Я себе понимаю так: в момент входа в точку, о которой идет разговор, должно появиться как раз ускорение, направленное к центру, чтобы самолет стал взмывать, то есть чтобы в следующей момент времени он оказался уже «повыше».

3) Второй раз, после того как самолет сделал петлю и снова оказался в этой точке, ускорение уже должно быть равно нулю (мгновенно исчезнуть должно), чтобы самолет просто продолжил двигаться по прямой?

Или как лучше решать задачу, если она поставлена именно в такой форме? :)

(Извините, пожалуйста, за ошибки смысловые, если есть.)

[Munin]

Alfucio в сообщении #429225 писал(а):

1) Если самолет просто летит «вперед» с одинаковой скоростью, то в рамках кинематике считается, что ускорение равно нулю (то есть вопрос про притяжение не рассматривается?)?

Притяжение - это сила, а не ускорение. На самолёт действует несколько сил. Они складываются вместе (векторно), и получается одна равнодействующая сила, которая соответствует одному ускорению.

В рамках кинематики силы не рассматриваются. В рамках кинематики рассматривается уже заданное движение - то есть, $\mathbf{r}(t).$ Если движение задано, то значит, все силы уже учтены, и притяжение в том числе.

Alfucio в сообщении #429225 писал(а):

Если самолет просто летит «вперед» с одинаковой скоростью

Здесь надо осторожней. Просто «вперед» - этим задано только направление движения, но не кривизна траектории. Одному и тому же «вперед» может соответствовать разная кривизна, и разные нормальные ускорения. Простейший пример: если самолёт (или камень) летит вперёд по параболе, загибающейся вниз, то его нормальное ускорение может быть равно $\mathbf{g}$ - то есть, совсем не нулю.

Alfucio в сообщении #429225 писал(а):

2) Я себе понимаю так: в момент входа в точку, о которой идет разговор, должно появиться как раз ускорение, направленное к центру, чтобы самолет стал взмывать, то есть чтобы в следующей момент времени он оказался уже «повыше».

Правильно понимаете. Но раз в этот момент ускорение только "появляется", то нельзя сказать, что оно в этот момент уже есть, или его ещё нет. Функция терпит разрыв, выглядит как ступенька. Если добавить уточнение, что вы рассматриваете следующий момент (после разрыва), то тогда ускорение будет определено. Оно "уже появилось".

Alfucio в сообщении #429225 писал(а):

3) Второй раз, после того как самолет сделал петлю и снова оказался в этой точке, ускорение уже должно быть равно нулю (мгновенно исчезнуть должно), чтобы самолет просто продолжил двигаться по прямой?

То же уточнение: в этот момент ускорение должно мгновенно исчезнуть, и поэтому ничему конкретному не равно. В предыдущий момент оно определено, в следующий момент - определено (нуль), а как раз в этот момент - нет.

Alfucio в сообщении #429225 писал(а):

Или как лучше решать задачу, если она поставлена именно в такой форме? :)

Уточнять постановку задачи.

[Alfucio]

Спасибо большое за разъяснения! Буду читать и думать :)