Рационально или иррационально?

[bundos]

Будет ли $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{2^{n^2}}$ рациональным числом?

[Someone]

С чего бы вдруг? В двоичной системе счисления дробь не периодическая.

[bundos]

Someone в сообщении #428977 писал(а):

С чего бы вдруг? В двоичной системе счисления дробь не периодическая.

Т.е. $\frac1{2^{n^2}}$ перевести в двоичную систему и просуммировать?

-- Ср мар 30, 2011 06:10:09 --

Типа так: $\frac1{2^{n^2}}_{10}=0,000\cdots01_2$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{2^{n^2}}=0,1001000100000001\ldots?$

[Sonic86]

По-моему, число даже трансцендентное Лиувилля.

[bundos]

А можно ли по двоичной записи сказать например, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{2^{n^2}}<0,3$

[RIP]

Sonic86 в сообщении #428987 писал(а):

По-моему, число даже трансцендентное Лиувилля.

Трансцендентное, но не Лиувилля.

[whitefox]

bundos в сообщении #428993 писал(а):

А можно ли по двоичной записи сказать например, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{2^{n^2}}<0,3$

$0.3_{10}=0.01(0011)_2$

-- 30 мар 2011, 08:11 --

А как в $TeX$ ставить десятичную запятую?

[Someone]

(Оффтоп)

whitefox в сообщении #429006 писал(а):

А как в $TeX$ ставить десятичную запятую?

В \TeXе десятичную запятую нужно окружать фигурными скобками: 0{,}3 ($0{,}3$; а без них получается $0,3$).

[Sonic86]

RIP писал(а):

Sonic86 писал(а):

По-моему, число даже трансцендентное Лиувилля.

Трансцендентное, но не Лиувилля.

Да, я соврал , в $\frac{a}{b}$ $b=2^{n^2}, b^n=2^{n^3}$, в то время как в остаточной сумме будут еще $2^{(n+k)^2}$
А почему тогда оно трансцендентное?

[whitefox]

Someone
Спасибо.

[RIP]

Sonic86 в сообщении #429019 писал(а):

А почему тогда оно трансцендентное?

Это очень нетривиальный результат, из той же оперы, что и алгебраическая независимость $\pi$ и $\mathrm e^\pi$. См., например, ссылку (хотя возможно, что просто трансцендентность доказывается проще; сейчас нет доступа к Бертрану, чтобы посмотреть). Нелиувиллевость доказывается сравнительно просто: см., например, сюда.

[Sonic86]

RIP писал(а):

Это очень нетривиальный результат, из той же оперы, что и алгебраическая независимость $\pi$ и $\mathrm e^\pi$. См., например, ссылку. Нелиувиллевость доказывается сравнительно просто: см., например, сюда.

Спасибо! Попробую осилить...

[bundos]

whitefox в сообщении #429006 писал(а):

$0.3_{10}=0.01(0011)_2$

-- 30 мар 2011, 08:11 --

Да, соврал, скорее $<0,75$

[AD]

RIP в сообщении #429031 писал(а):

Sonic86 в сообщении #429019 писал(а):

А почему тогда оно трансцендентное?

Это очень нетривиальный результат, из той же оперы, что и алгебраическая независимость $\pi$ и $\mathrm e^\pi$. См., например, ссылку (хотя возможно, что просто трансцендентность доказывается проще; сейчас нет доступа к Бертрану, чтобы посмотреть). Нелиувиллевость доказывается сравнительно просто: см., например, сюда.

Ой, неужели настолько всё плохо? То есть всякими соображениями про скорость приближения дробями это не устанавливается?

[RIP]

Смотря что под этим понимать. Нетривиальная оценка для показателя иррациональности снизу неизвестна (и не факт, что он не равен 2). До работы Нестеренко известна была только линейная независимость (над $\mathbb Q$) чисел $1,\alpha,\alpha^2$ (см. D. Duverney, Propriétés arithmétiques d’une série liée aux fonctions thêta; см. также). Ещё здесь во введении можно ссылки посмотреть.