Расходящийся ряд

[bundos]

Найти $f(x)$, такую что: $f(x)\sim\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(1-x)^n}{\sqrt{n}}, x\leqslant0$.

(Оффтоп)

Как вообще такие штуки решаются с расходящимися рядами?

[Sonic86]

Ну вообще надо выразить $f(x)$ в замкнутом виде или составить функциональное уравнение, но общего метода для этих составлений нет.

[bundos]

Sonic86 в сообщении #428986 писал(а):

надо выразить $f(x)$ в замкнутом виде .

Что значит выразить $f(x)$ в замкнутом виде?

[Sonic86]

В смысле конечного числа операций от $x$ + сюда еще могут быть добавлены какие-то функции, например $e^x, \sin x, J(x), \text{erf}(x)$ и т.п., для которых мы считаем, что можем их запросто вычислить (ну или если мы считаем, что нам это даст больше понимания). Т.е. результат не должен содержать сумм и произведений бесконечных или от параметра.

К примеру: $\frac{1}{1-x} = \sum\limits_{n=0}^{+ \infty}x^n$. Правая часть определена лишь при $x \in (-1;1)$, левая часть - ее замкнутый вид + определена шире: в $\mathbb{R} -\{ 1\}$. Поэтому $\frac{1}{1-x}$ - искомая.

[bundos]

Т.е. $\lim\limits_{x \to 1-0}\left[(1-x)\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\right]=1$?

[Sonic86]

Ну да, конечно.

[Padawan]

bundos в сообщении #428984 писал(а):

Найти $f(x)$, такую что: $f(x)\sim\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(1-x)^n}{\sqrt{n}}, x\leqslant0$.

Что эта запись означает? Ряд Тейлора? В какой тогда точке? Очевидно, что в точке $x_0=1$. Тогда почему $x\leqslant 0$?

[bundos]

Padawan в сообщении #429001 писал(а):

Тогда почему $x\leqslant 0$?

Ну в условии дали степенной ряд и указали $x\leqslant0$. Найти $f(x)$, чтобы $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(1-x)^n}{\sqrt{n}}}{f(x)}=1$

И ещё такой вопрос: А как найти асимптотической разложение $\int\limits_{x=1}^{n}\sqrt{x}dx$, n \to \infty?

-- Ср мар 30, 2011 14:08:15 --

Sonic86 в сообщении #428996 писал(а):

Ну да, конечно.

А что можно сказать про $\lim\limits_{x \to 1+0}\left[(1-x)\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\right]$?

[Sonic86]

bundos писал(а):

И ещё такой вопрос: А как найти асимптотической разложение $\int\limits_{x=1}^{\infty}\sqrt{x}dx$?

Неправильное задание. Интеграл просто равен бесконечности. Может у Вас там где-то параметр потерян, например, в верхнем пределе?

Кстати, задача

Цитата:

Найти $f(x)$, чтобы $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(1-x)^n}{\sqrt{n}}}{f(x)}=1$

и задача

Цитата:

Найти $f(x)$, такую что: $f(x)\sim\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(1-x)^n}{\sqrt{n}}, x\leqslant0$.

это две разные задачи. Если не указано, куда стремится $x$, то обычно по умолчанию он стремится к $\infty$

-- Ср мар 30, 2011 16:11:32 --

bundos писал(а):

А что можно сказать про $\lim\limits_{x \to 1+0}\left[(1-x)\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\right]$?

Можно сказать, что предел не существует, поскольку функция, описываемая степенным рядом не определена при $x>1$

[Padawan]

bundos в сообщении #429091 писал(а):

Padawan в сообщении #429001 писал(а):

Тогда почему $x\leqslant 0$?

Ну в условии дали степенной ряд и указали $x\leqslant0$. Найти $f(x)$, чтобы $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(1-x)^n}{\sqrt{n}}}{f(x)}=1$

Может всё-таки $x\geqslant 0$. Тогда хоть какой-то смысл появляется. Можно взять просто $f(x)={\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(1-x)^n}{\sqrt{n}}}$. То есть теоретически понятно, о чем речь. А уж то, что надо в замкнутой форме функцию найти, это уже другой вопрос.

Sonic86 в сообщении #429092 писал(а):

Кстати, задача

Цитата:

Найти $f(x)$, чтобы $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(1-x)^n}{\sqrt{n}}}{f(x)}=1$

и задача

Цитата:

Найти $f(x)$, такую что: $f(x)\sim\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(1-x)^n}{\sqrt{n}}, x\leqslant0$.

это две разные задачи. Если не указано, куда стремится $x$, то обычно по умолчанию он стремится к $\infty$

Если Вы под знаком $\sim$ понимаете знак асимптотического разложения, то укажите, по какой асимптотической последовательности происходит разложение.

[Sonic86]

Padawan писал(а):

Если Вы под знаком $\sim$ понимаете, знак асимптотического разложения, то укажите, по какой асимптотической последовательности происходит разложение.

Чего-то я такого не знаю , в смысле указать множество функций, из которых строится асимптотический ряд? Ну хотя бы произведение функций вида $\ln _k x$, где $\ln _{k+1}x = \ln \ln _k x$ ($\ln _{-1}x = e^x$). Ну или вообще хотя бы из каких-нибудь функций, лишь бы в замкнутой форме. Я вообще просто сказать хотел, что нужно указывать, куда стремится $x$. Ил это не нужно?

[Padawan]

Асимптотический ряд -- это формальная сумма $\sum_{n=1}^\infty a_n\varphi_n(x)$, где функции $\varphi_n(x)$ удовлетворяют условию $\varphi_{n+1}(x)=o(\varphi_n(x))$ при $x\to x_0$. В простейшем случае $a_n$ -- числа, но могут и зависеть от $x$. В нашем пример где что.

[bundos]

Sonic86 в сообщении #429092 писал(а):

bundos писал(а):

И ещё такой вопрос: А как найти асимптотической разложение $\int\limits_{x=1}^{\infty}\sqrt{x}dx$?

Неправильное задание. Интеграл просто равен бесконечности. Может у Вас там где-то параметр потерян, например, в верхнем пределе?

Пардон, там последовательность была...

[Sonic86]

Padawan писал(а):

Асимптотический ряд -- это формальная сумма $\sum_{n=1}^\infty a_n\varphi_n(x)$, где функции $\varphi_n(x)$ удовлетворяют условию $\varphi_{n+1}(x)=o(\varphi_n(x))$ при $x\to x_0$. В простейшем случае $a_n$ -- числа, но могут и зависеть от $x$. В нашем пример где что.

А, понял. Ну $\varphi _n (x)$ я описал. В общем мне понятно, вопрос исчерпан вроде

[bundos]

Там $x \to 0$,

(Оффтоп)

$x\leqslant0$ из следующего списал...