Помогите решить пример на деление

[Anya_Kiev]

$\frac{a^{2^{2011}}-b^{2^{2011}}}{(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)\dots (a^{2^k}+b^{2^k})\dots (a^{2^{2010}}+b^{2^{2010}})}$

Я стала раскладывать $(a+b)(a^2+b^2)=a^3+ab^2+a^2b+b^3$
Это же жизни не хватит все это раскладывать на множители.

[ИСН]

Зачем раскладывать. Домножьте верх и низ на a-b.

[Anya_Kiev]

ИСН в сообщении #428642 писал(а):

Зачем раскладывать. Домножьте верх и низ на a-b.

Я домножила, но теперь не понимаю зачем верх? Я только низ домножила и меня ждал сюрприз. Если знаменатель умножить на a-b по ФСУ, то получится числитель!

[VAL]

Anya_Kiev в сообщении #428644 писал(а):

ИСН в сообщении #428642 писал(а):

Зачем раскладывать. Домножьте верх и низ на a-b.

Я домножила, но теперь не понимаю зачем верх?

Если домножить только низ. выражение не будет равно исходному.

Цитата:

Я только низ домножила и меня ждал сюрприз. Если знаменатель умножить на a-b по ФСУ, то получится числитель!

И жизни хватило!?

[ИСН]

Только низ нельзя. А то так получится, например, что ${1\over1}={1\over1\cdot2}$, а это разве хорошо?

[Anya_Kiev]

ИСН в сообщении #428648 писал(а):

Только низ нельзя. А то так получится, например, что ${1\over1}={1\over1\cdot2}$, а это разве хорошо?

Нет, Вы не поняли меня. Сначала я домножила низ, а когда увидела, что все сократилось, поняла что ответ на пример будет a-b и уже верх не стала домнаживать.

[ИСН]

А, ну тогда всё в порядке.

[Anya_Kiev]

VAL в сообщении #428647 писал(а):

И жизни хватило!?

Задача не совсем стандартная, в лоб не решить, а обходным путем хватило жизни

[Null]

Почему же не хватит я перемножил:

$$\sum\limits_{i=0}^{2^{2011}-1} a^i b^{2^{2011}-1-i}=a^{2^{2011}-1}+a^{2^{2011}-2}b +\dots+a b^{2^{2011}-2}+b^{2^{2011}-1}$$

[Xenia1996]

Anya_Kiev в сообщении #428641 писал(а):

$\frac{a^{2^{2011}}-b^{2^{2011}}}{(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)\dots (a^{2^k}+b^{2^k})\dots (a^{2^{2010}}+b^{2^{2010}})}$

Я стала раскладывать $(a+b)(a^2+b^2)=a^3+ab^2+a^2b+b^3$
Это же жизни не хватит все это раскладывать на множители.

Очень похожая задача предлагалась на олимпиаде Вашего города в прошлом веке:

$\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{4}{1+x^4}+\frac{8}{1+x^8}+\frac{16}{1+x^{16}}$

Решается почти таким же способом, ответ равен $\frac{32}{1-x^{32}}$