Задача Пифагора

[vorvalm]

$C^2= A^2+AB+B^2$
Найти алгоритм определения всех целочисленных решений.

[Sonic86]

Решается обычным методом секущих.
$C^2=A^2+AB+B^2$
$1=x^2+xy+y^2$ - это эллипс, у него есть 1 рациональная точка $(1;0)$, а поскольку кривая второго порядка, то секущая, проходящая через эту точку, пересекает эллипс в рациональной точке. Секущую возьмем $y=k(x-1)$, множество рациональных точек биективно множеству всех $k$. Подставляем:
$x^2(k^2+k+1)-x(k^2+2k)+(k^2-1)=0$.
$x_1=1$, тогда по теореме Виета $x_2 = \frac{k^2-1}{k^2+k+1}, y_2 = - \frac{k^2+2k}{k^2+k+1}$, откуда, наконец,

$$ \left\{ \begin{array}{lll} A=q(m^2-n^2) \\ B=q(m^2+2mn) \\ C=q(m^2+mn+n^2) \end{array} $$

Можно было зайти и в $\mathbb{Z}[\zeta], \zeta ^3=1$, но я что-то там запарился

[vorvalm]

Sonic86
Что означают числа q, m, n?

[Sonic86]

$q,m,n \in \mathbb{Z}$

[vorvalm]

Sonic86
А вы пробовали проверить свои выводы?
У меня что-то не плучается.

[Sonic86]

Угу, опечатался, минус забыл:

$$ \left\{ \begin{array}{lll} A=q(m^2-n^2) \\ B=-q(m^2+2mn) \\ C=q(m^2+mn+n^2) \end{array} $$

[vorvalm]

Sonic86
Так еще хуже!

[Sonic86]

Например:

$$ q=1, m=5, n=2; A=21, B=45, C=39; 21^2-21 \cdot 45 + 45^2 = 1521 = 39^2. $$

[vorvalm]

Sonic86
Что-то вы часто путаете исходные условия. Там АВ, но не -АВ.

[Sonic86]

Цитата:

$B = $(-1)$q(m^2+2mn)$

[venco]

(Оффтоп)

vorvalm не читатель.

[vorvalm]

Sonic
Я имел ввиду начальные условия поставленной задачи.$C^2=A^2+AB+B^2$

[VAL]

Sonic86 в сообщении #428760 писал(а):

$1=x^2+xy+y^2$ - это эллипс, у него есть 1 рациональная точка $(1;0)$, а поскольку кривая второго порядка, то секущая, проходящая через эту точку, пересекает эллипс в рациональной точке.

Очень смелое утверждение!
Таким образом, можно доказать, что все точки на эллипсе, имеющем хотя бы одну рациональную точку рациональны

Впрочем, я догадываюсь, что Вы имели в виду

[age]

vorvalm в сообщении #428881 писал(а):

Sonic
Я имел ввиду начальные условия поставленной задачи.$C^2=A^2+AB+B^2$

$A^2+AB+B^2=(A+B)^2-(A+B)B+B^2$

[Sonic86]

Sonic86 писал(а):

$$ q=1, m=5, n=2; A=21, B=45, C=39; 21^2-21 \cdot 45 + 45^2 = 1521 = 39^2. $$

Опять опечатка: $B=-45$. Опять же по формуле.