Одно свойство многочлена четвёртой степени

[arqady]

Пусть у многочлена $x^4+ax^3+2x^2+bx+1$, где $a$ и $b$ действительны, имеется действительный корень.
Докажите, что $a^2+b^2\geq8$.

[nnosipov]

Обратное, кстати, неверно. А есть ли какой-нибудь простой критерий?

[ewert]

Надо переписать уравнение в виде $(x^2+1)^2=ax^3+bx$ (знаки перед коэффициентами лучше поменять). Пусть $(a,b(a))$ -- пары параметров, при которых график левой части касается графика правой и $x_0(a)$ -- точка касания. Достаточно доказать утверждение для случая именно касания и для $b\geqslant0$, а тогда и для $a\geqslant0$ (поскольку для $a<0$ оно будет тем более верным). При $a=b$ утверждение достаточно очевидно. Далее, маленько покрутившись, получим $b'(a)=-x_0^2(a)$ и $x_0\leqslant1$. Это означает, что график $b(a)$ лежит выше прямой $a+b=4$ и, следовательно, утверждение верно -- по крайней мере, при $a\geqslant b$. Но тогда в силу симметрии оно верно и при $a\leqslant b$.

nnosipov в сообщении #428696 писал(а):

А есть ли какой-нибудь простой критерий?

Вряд ли, там системка на $a,b,x_0$ не сильно симпатичной получается.