параболическое уравнение

[Oleg Zubelevich]

Можно ли методом компактности (априорные оценки) доказать следующую теорему?

Через $M\subset \mathbb{R}^m$ обозначим ограниченную область с гладкой границей. $f\in C(\mathbb{R}^m),\quad |f(z)|\le c(1+|z|^p)$.
Зафиксируем константы: $q>1,\quad q\ge p\ge 1,\quad m(p-1)<q.$
При малых $T>0$ задача

$$u_t=f(\nabla u)+\Delta u,\qquad u(t,\partial M)=0,\quad u\mid_{t=0}=\hat u\in H^{1,q}_0(M)$$

имеет решение $u\in C([0,T],H^{1,q}_0(M))$. (Которое на самом деле с ростом $t$ несколько выглаживается)$

[sup]

1. Сначала разобраться с линейной задачей ($f \equiv 0$), но с правой частью $F(x,t) \in C([0,T],L_{q/p}(M))$.
Решение, очевидно, представимо в виде $u=\bar u+u_F$, где $\bar u$ - решение с начальными данными и нулевой правой частью, а $u_F$ - решение с правой частью и нулевыми начальными данными. Показать, что норма $u_F$ тем меньше, чем меньше $T$ (скорее всего зависит степенным образом).
2. Организовать последовательность гладких приближений $f_n$ для $f$, для которых разрешимость не вызывает сомнения. Например, вне некоторого компакта $K_n$(растущего с номером приближения) $f_n$ ограничена.
3. Пользуясь результатами п.1, получить равномерные по $n$ оценки и перейти к пределу. Для этого рассматриваем решение $u_n$ в виде $u_n=\bar u+u_F$.
Если обозначить $U=\|u_F\|_{C([0,T],H^{1,q}_0(M))}$, то должно получиться некое соотношение вида
$U \leq a(T)(C+U)^p$,
где $a(T)$ можно сделать сколь угодно малой, уменьшая $T$. И, наконец, выбрав $a(T)$ так, чтобы $a(T)(C+1)^p < 1$, получим, что $U < 1$ (в силу непрерывности).
В сущности, это мало чем отличается от поиска неподвижной точки, когда нелинейность забрасывается в правую часть.
Если угодно, можно попробовать и такой подход.
В любом случае необходимо сначала изучить линейную задачу.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #428632 писал(а):

но с правой частью $F(x,t) \in C([0,T],H^{1,q/p}_0(M))$.

а почему так? ведь $f(\nabla u)\notin H^{1,q/p}_0(M)$ вообще говоря

[sup]

Это издержки копи/паст
Разумеется, там должно быть $C([0,T]; L_{q/p}(M))$

[Oleg Zubelevich]

и еще мне не очевидно, хватет ли ограниченности этих норм

sup в сообщении #428632 писал(а):

ть $U=\|u_F\|_{C([0,T],H^{1,q}_0(M))}$

для получения именно сильной непрерывности по $t$?

[sup]

Должно хватить. Там у Вас запасец есть $m(p-1) <q$. Тогда будет компактность вложения (по $x$). А тогда на $u_t$ хватит сколь угодно слабой оценки (стандартный прикол). Я, конечно, подробно не проверял. Но вроде так.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #428658 писал(а):

А тогда на $u_t$ хватит сколь угодно слабой оценки (стандартный прикол)

а где про это почитать?

[sup]

Лионс. "Некоторые методы ...". Там есть такой раздел: Леммы о компактности. (в пределах первой сотни страниц). А еще, когда рассматриваются вырождающиеся ур-я, там есть такая ... лемма Дубинского. На плотном множестве точек $t_k$ диагональным процессом организуем сильную сходимость (компактность). А "дырки" заполняем за счет $u_t$. Более точно не скажу ...

[Oleg Zubelevich]

ok спасибо