2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 An easy problem
Сообщение28.03.2011, 23:58 
Аватара пользователя


13/10/07
755
Роман/София, България
It is given a circle k. From the point P are drawn the tangents PA and PB to the k. On the smaller arc AB is chosen a point Q. PQ intersects k at the point C. From Q is drawn a parallel line to AP that intersects AC at the point D. If M is the intersection point of AB and QD prove that M is the middle of QD

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 07:58 
Аватара пользователя


02/03/08
176
Netherlands
На $AB$ лежит симедиана тр-ика $QAC$. Далее очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: An easy problem
Сообщение29.03.2011, 10:28 
Аватара пользователя


13/10/07
755
Роман/София, България
Can you be more detailed if you have time?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.03.2011, 07:20 
Аватара пользователя


02/03/08
176
Netherlands
Let $T=QC\cap AB$. From similarity $\triangle APC \sim \triangle QPA$ and $\triangle BPC \sim \triangle QPB$ we obtain: $\frac {AC} {AQ} = \frac {PC} {AP}$, $\frac {BC} {BQ} = \frac  {PC} {BP}$, i.e. $\frac {AC} {AQ} =\frac {BC} {BQ}$ ($AP=BP$). Next step $\triangle AQT \sim \triangle CBT$, $\triangle ATC \sim \triangle TQB$, so $\frac {BC} {CT} = \frac  {AQ} {AT}$, $\frac {BQ} {QT} = \frac  {AC} {AT}$ => $\frac {CT} {TQ} = \frac {AC^2} {AQ^2}$ and consequently $AT$ - symedian in $\triangle ACQ$. Finally $\triangle AQC \sim \triangle ADQ$ => $AM$ - median in $\triangle AQD$.

 Профиль  
                  
 
 Re: An easy problem
Сообщение30.03.2011, 09:18 
Аватара пользователя


13/10/07
755
Роман/София, България
Thank you for the excellent solution. I (re)discovered the statement at my own. Hope you like it.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group