дифференциальное уравнение

[Marsel]

помогите решить пожалуйста
$x*y^{2}*y^{'} = x^{2} + y^{2}$

[Mitrius_Math]

Это уравнение Бернулли.

1. Замена $z=y^3$. Получим ЛНДУ 1-го порядка.
2. Решаем соответствующее однородное ДУ. Общее решение имеет вид $z=\varphi(x,C)$. Будем искать общее решение ЛНДУ в виде $z=\varphi(x,C(x))$, где $C(x)$ - неизвестная пока функция.
3. Подставляем $z=\varphi(x,C(x))$ в ЛНДУ и находим $C(x)$. Записываем общее решение ЛНДУ $z=\varphi(x,C(x))$.
4. Возвращаемся к "старой" переменной.

[Marsel]

а почему мы после замены получим линейное уравнение? у нас ведь после замены получается
$3xz^{'} = x^{2}+z^{2/3}$ и оно не линейное=)

-- Пн мар 28, 2011 20:47:42 --

а почему мы после замены получим линейное уравнение? у нас ведь после замены получается
$3xz^{'} = x^{2}+z^{2/3}$ и оно не линейное=)

[Mitrius_Math]

Да, какое-то неправильное уравнение. Надо подумать...

[laplas_the_best]

Marsel в сообщении #428494 писал(а):

помогите решить пожалуйста
$x*y^{2}*y^{'} = x^{2} + y^{2}$

$x*y^{'} =x^2/y^2+1$

Однако $x$ мешает перед производной=)

[zhekas]

y'={x}/{y^2} + 1/x

решаем сначала однородное уравнение
y'={x}/{y^2}

а затем подставляем C(x) и находи C(x)

[Marsel]

zhekas в сообщении #428594 писал(а):

y'={x}/{y^2} + 1/x

решаем сначала однородное уравнение
y'={x}/{y^2}

а затем подставляем C(x) и находи C(x)

так нельзя делать. Такой способ применим только тогда, когда уравнение линейное.
Да, уравнение действительно корявое....

[laplas_the_best]

Такой способ применим, если искать частное решение методом вариации произвольной постоянной=)
Отличная идея zhekas

[Marsel]

так вот, разве можно использовать метод вариаций, когда уравнение нелинейное? или я чего то не понимаю?=)

[Someone]

Marsel в сообщении #428784 писал(а):

разве можно использовать метод вариаций, когда уравнение нелинейное?

Иногда, как ни странно, срабатывает. Но в данном случае, увы...
Может быть, в уравнении опечатка? Откуда оно? Очень похожее уравнение $xyy'=x^2+y^2$ нормально решается.

[Полосин]

$x=yu, u^2+1=v$: $yvv'=2(1-v)(v-y)$. В окрестности $y=0$ можно поискать решение через ряд. Ничего лучше не вижу.

[Marsel]

изначально уравнение выглядело так:
$x*y^{2}*y^{'} = x^{2}+y^{3}$ , но преподаватель сказал что оно решается тривиально (тут обычная замена и метод нужно вариаций применить), поэтому усправил на $y^2$. Сказал посмотреть насколько усложнится задание, видимо оно очень сильно усложнилось=)

[Полосин]

Пятью пять - двадцать пять.
Шестью шесть - тридцать шесть.
Семью семь - сорок семь.