оценка аппроксимации

[YanaKass]

Аппроксимирует ли разностная схема $ \frac{u_{n+1}-u_{n-1} }{2h}+u_n = nh+1$, $n=1,..., N-1, h=1/n$
$u_0=0, u_1=0$; дифференциальную задачу $ \frac{du}{dx}+u=x+1$, $x$ из $[0;1]$, $u(0)=0$ со вторым порядком по $h$? Если нет, то видоизменить разностную схему так, чтобы она имела второй порядок аппроксимации.

Само уравнение разностной схемы уже аппроксимировано. У него порядок $о(h^2)$. А как найти оценку граничного условия?

[ewert]

YanaKass в сообщении #428140 писал(а):

А как найти оценку граничного условия?

По общему правилу: недостающие начальные значения (в Вашем случае это $u_1$) надо аппроксимировать с тем же порядком точности, что и глобальный порядок точности метода. Т.е. достаточно для их нахождения использовать метод на единицу меньшего порядка, что у основного метода. Соответственно, в Вашем случае достаточно использовать для нахождения $u_1$ метод Эйлера (случайно, кстати, решение получится абсолютно точным). Условие же $u_1=0$ откровенно имеет порядок погрешности $O(h)$ (даже не вдаваясь в детали -- просто потому, что $u_0=0$, а производная в нуле ненулевая) и, следовательно, не подходит.

[YanaKass]

ewert в сообщении #428175 писал(а):

достаточно использовать для нахождения $u_1$ метод Эйлера (случайно, кстати, решение получится абсолютно точным).

Если я не ошибаюсь, расчет там по формуле $u_{i+1}=u_i+hf(x_i,u_i)$
А что брать за $f(x_i,u_i)$?

[mitia87]

YanaKass в сообщении #428224 писал(а):

Если я не ошибаюсь, расчет там по формуле $u_{i+1}=u_i+hf(x_i,u_i)$
А что брать за $f(x_i,u_i)$?

$u_{1}=u_0+h u'_0 + O(h^2)$. А далее используют дифференциальное уравнение, верное и на границе.

[YanaKass]

Спасибо большое=) Все получилось