Система дифференциальных уравнений

[estress]

Доброй ночи....затрудняюсь с частным решением.
$x'= \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} \right)x +\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$ такая вот задача.
Общее решение однородного получилось $x_{oo}=c_{1} \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) + c_{2} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) e^{3t}$
Не подскажите, как искать частное решение?

[Tlalok]

А где начальные условия?

[estress]

Больше ничего не дано.

[mihailm]

Здесь имеется в виду частное решение неоднородного уравнения
Филиппов (сборник задач по дифурам) вам в помощь

[estress]

Я прекрасно знаю, что нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Вы меня послали в книгу, из которой я пришел сюда.

[mihailm]

(Оффтоп)

Еще раз послать?)

[ewert]

Подставьте выражение $x(t)=a(t)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}+b(t)\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}e^{3t}$ в Вашу исходную систему. Слагаемые с $a(t)$ и $b(t)$ в левой и в правой части автоматически сократятся, и останется векторное тождество для $a'(t)$ и $b'(t)$. Т.е., собственно, система из двух скалярных уравнений для этих двух неизвестных функций. В этом и заключается метод вариации произвольных постоянных -- что для одного уравнения высшего порядка, что для систем; лишь бы линейными были.

[estress]

Я не понимаю... производную находить от $x(t) $ ? Или куда подставлять ? В Филиппове нет рассмотрения подобной задачи. Почему мы не использовали $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$ нигде?

[ewert]

Пардон, я вместо добавления нового сообщения по рассеянности отредактировал предыдущее, см. выше.

[mihiv]

Можно также искать частное решение методом неопределенных коэффициентов:

$$x=\left (\begin{array}{c}a_1t+b_1\\a_2t+b_2\end {array}\right )$$

.

[ewert]

mihiv в сообщении #427998 писал(а):

Можно также искать частное решение методом неопределенных коэффициентов:

Можно, но логически сложнее. А если бы корень был кратным?...

[estress]

Спасибо... получается такое, если я правильно понял?)) $(a(t)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}+b(t)\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}e^{3t})'=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} \right)(a(t)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}+b(t)\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}e^{3t}) +\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$

[ewert]

Ну раскрывайте скобки и смотрите, что получится после всех сокращений.

[estress]

Получилось $a'(t)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}+b'(t)\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}e^{3t}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$ (у $a$ множитель получился равен нулю, а $b$ справа уничтожилось после нахождения производной от умножения $b$)
Далее вроде бы из уравнений получилось, что $a'(t)=\frac {2} {3}$, а $b'(t)= \frac {1} {3} e^{-3t}$

Отсюда $a(t)=\frac {2} {3}t$ , $b(t)=-\frac {1} {9}e^{-3t}$

Затем подставляем коэффициенты в уравнение $x(t)$, которое вы мне дали и складываем с общим решением однородного?

[estress]

И в итоге $x=c_1\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} +c_2\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}e^{3t} +\frac {2} {3}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}t-\frac {1} {9}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$
Похоже на правду?