Поразмыслив, начинаю думать, что нечто во всём этом есть. Но до конца пока, увы, в правильности предложенного решения не уверен
Перескажу предложенное решение на свой манер...
Итак,

у нас абелева группа, не содержащая элементов нечётного порядка и содержащая более одного элемента порядка

. В

есть "идемпотентная подгруппа"

, не изоморфная

. Фиксируем отображение

из

в

, которое инъективно на каждом смежном классе

, где

.
Далее, у нас есть эндоморфизм

группы

в себя, ядро которого равно

. Имеем

, откуда

. Следовательно, факторгруппа

содержит столько же элементов, сколько их содержится во множестве

. Кроме того, каждый элемент фактора

, будучи умноженным на

, даёт ноль, из чего сразу следует

. Зафиксируем гомоморфизм

с ядром

. Зафиксируем также множество

, содержащее ровно по одному представителю каждого смежного класса

. Отображение

инъективно на

. Пусть

--- биекция

на

, для которой

и

.
Теперь полагаем

и

.
Отображение

--- перестановка. Действительно, если

, то

,

,

,

,

,

,

и

.
Это то, что делал
Руст, и до этого момента вроде всё понятно. А вот дальше... Утверждается, по сути, что можно выбрать отображение

так, чтобы

тоже оказалось перестановкой (или, что равносильно, домножить

на некоторую перестановку множества

). А вот так ли оно это?.. Тут ведь в общем случае даже непонятно, как располагаются относительно друг друга подгруппы

и

. В общем случае даже включение

не обязано выполняться
-- Вс мар 27, 2011 22:27:49 --У
Руста, по крайней мере, у самого нет уверенности в том, что "циклическая перестановка"

даст нужный результат. Надо будет на свежую голову попробовать подобрать

для простых случаев

,

и т. п...