Стандартная задача на мощность

[Профессор Снэйп]

И ведь... Хоть и стандартная она, но всё же заслуживает помещения в олимпиадный раздел

Доказать, что множество монотонных функций из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ имеет мощность континуум.

[staric]

Даже множество линейных ...

[Профессор Снэйп]

Что? При чём здесь какое-то "множество линейных"?

[Null]

Значения в рациональных точках + $x$ разрывов + $y$ разрывов - оценка сверху.
Оценка снизу у staric.

[Профессор Снэйп]

Чего? Я опять не понял. Плюс икс разрывов плюс игрек разрывов минус оценка сверху...

[staric]

Профессор Снэйп в сообщении #427903 писал(а):

При чём здесь какое-то "множество линейных"?

Чего уж тут непонятного... Они вроде как монотонные.

[Профессор Снэйп]

staric в сообщении #427924 писал(а):

Чего уж тут непонятного... Они вроде как монотонные.

И что?

Да, каждая линейная функция монотонна. Но не каждая монотонная линейна! В задаче требуется найти количество монотонных функций, вы зачем-то ищете количество линейных... Зачем?

[caxap]

Монотонная функция имеет не более чем счётное число точек разрыва (для этого надо посмотреть на график сбоку). А непрерывная функция восстанавливается по своим значениям в рациональных точках, а $|\mathbb R^{\mathbb Q}|=\mathfrak c$.

[Padawan]

Null в сообщении #427913 писал(а):

Значения в рациональных точках + $x$ разрывов + $y$ разрывов - оценка сверху.
Оценка снизу у staric.

caxap в сообщении #427952 писал(а):

Монотонная функция имеет не более чем счётное число точек разрыва (для этого надо посмотреть на график сбоку). А непрерывная функция восстанавливается по своим значениям в рациональных точках, а $|\mathbb R^{\mathbb Q}|=\mathfrak c$.

А ничего, что множество точек разрыва может быть всюду плотным?

[Профессор Снэйп]

Это всё замечательно, со всем написанным согласен, но решения пока всё равно не видно!

Вот возьму я, например, линейный порядок $\langle A, \leqslant_A \rangle$ мощности гиперконтинуум и назову функцию из $A$ в $\{ 0,1 \}$ замечательно-расчудесной, если она имеет вид

$$ f(x) = \begin{cases} 0, & x \leqslant a \\ 1, & x > a \end{cases} $$

для некоторого $a \in A$. И сколько у нас этих самых расчудесных функций получается? Вроде ясно, что гиперконтинуум. Но!.. повторяю Ваши аргументы. Замечательно-расчудесная функция задаётся одной-единственной точкой, в которой она меняет значение, следовательно, таких функций то ли не больше континуума, то ли вообще не больше одной. Вот Ваша логика как-то так выглядит.

-- Вс мар 27, 2011 14:35:30 --

Padawan в сообщении #427953 писал(а):

ничего, что множество точек разрыва может быть всюду плотным?

Это как раз ничего

Ладно, не буду мучить народ, бродя вокруг до около. В предложенном решении мне не нравится один конкретный момент... Множество точек разрыва монотонной функции действительно не более чем счётно, и для задания монотонной функции действительно достаточно задать её в рациональных точках и точках разрыва. Но... Сколько всего существует подмножеств $\mathbb{R}$, которые могут являться множествами точек разрыва монотонной функции? А вдруг больше континуума?

[caxap]

(Может так?)

Профессор Снэйп в сообщении #427959 писал(а):

Сколько всего существует подмножеств $\mathbb R$, которые могут являться множествами точек разрыва монотонной функции? А вдруг больше континуума?

Эти подмножества не более чем счётны, поэтому их число $\le\mathfrak c^{\mathfrac \aleph_0}=\mathfrak c$.

[Профессор Снэйп]

Ок, так нравится больше. Но напишите уж, пожалуйста, решение целиком...

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #427959 писал(а):

и для задания монотонной функции действительно достаточно задать её в рациональных точках и точках разрыва.

Обоснуйте.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #427982 писал(а):

Обоснуйте.

Ну как же!... Пусть $f$ непрерывна в точке $x$. Тогда $f(x) = \lim_{n \to \infty} f(q_n)$, где $\{ q_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ --- последовательность рациональных чисел, стремящаяся к $x$.

[caxap]

Оценка снизу: $\mathfrak c$ (= мощность множества константных функций $\mathbb R\to\mathbb R$).
Оценка сверху:

Непрерывных функций $\mathfrak c$, ибо их достаточно задать в рациональных точках, а $|\mathbb R^{\mathbb Q}|=\mathfrak c^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\times \aleph_0}=2^{\aleph_0}=\mathfrak c$.

Точек разрыва у монотонной функции $\le \aleph_0$. У монотонных функций есть только точки разрыва 1-го рода (скачки). Посмотрим на график сбоку, точки разрыва разбивают его промежутки. В каждом промежутке скачка (между непрерывными участками) возьмём рациональную точку. Получим биекцию с подмножеством $\mathbb Q$, мощность которого $\le \aleph_0$.

Следовательно, число подмножеств $\mathbb R$, которые могут быть множествами точек разрыва монотонной функции, $\le\mathfrak c^{\aleph_0}=\mathfrak c$.

Следовательно, общее число монотонных функций не превосходит $\mathfrak c\times \aleph_0\times\mathfrak c=\mathfrak c$

Так?