Несобственный интеграл

[SpBTimes]

Определить, сходится ли интеграл:
$\int_{2}^{\infty} \frac{\sin(\sin(x))dx}{x}$

Абсолютно расходится наверняка (не доказывал, но все они такие расходятся, наверняка можно придумать пределы такие, что хвост в ноль не идёт).
Но вот с условной...
Ничего не смог придумать, что можно сделать с $\sin(\sin(x))$ Подскажите, пожалуйста.

[Null]

Интегралы $\int_{2}^{M} sin(sin(x))dx$ вроде ограниченны.

[SpBTimes]

Null
Хотелось бы, чтобы применить Дирихле. А как доказать - вот вопрос.

[Null]

Ну периодическая непрерывная функция ограниченна. Ну или график нарисуйте и искомый интеграл как площадь.

[Полосин]

Разбейте полупрямую на отрезки длиной $\pi$ и с помощью замены переменной сведите к интегралу по отрезку.

[ewert]

SpBTimes в сообщении #427816 писал(а):

Хотелось бы, чтобы применить Дирихле. А как доказать - вот вопрос.

Очень просто: $\int\limits_{-\pi+2\pi k}^{\pi+2\pi k}\sin(\sin x)\,dx=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(\sin x)\,dx=0$ просто из-за нечётности.

(Собственно, от $f(g(x))$ нужны лишь нечётность и периодичность $g$ и просто нечётность $f$.)

[SpBTimes]

ewert
То есть из этого делается вывод, что первообразная ограничена?

[ewert]

Ограниченность первообразной от периодической функции равносильна тому, что интеграл по периоду равен нулю.

[SpBTimes]

ewert
Спасибо, я об этом не знал

[ewert]

А что тут знать: если $T$ -- период, то $\int\limits_{0}^{nT+a}f(x)\,dx=n\int\limits_{0}^{T}f(x)\,dx+\int\limits_{0}^{a}f(x)\,dx$. Второе слагаемое всегда ограничено (при $a\in[0;T]$), а первое или нулевое, или линейно растёт.