Перейти от декартовых координат к полярным

[katerinka76]

Не понимаю сути задачи. Контрольная по теме "дифференциалы".

Перейти от декартовых координат к полярным, полагая $x=r\cos (t)$ и $y=r\sin (t)$, если $\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}$.

Я делаю так:
$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{dx}{dt}=\cos(t)-r\sin(t)$
$\frac{dy}{dt}=\sin(t)+r\cos(t)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin(t)+r\cos(t)}{\cos(t)-r\sin(t)}$

Но по условию задачи это же выражение равно
$\frac{dy}{dx}=\frac{r\sin(t)+r\cos(t)}{r\cos(t)-r\sin(t)}=\frac{\sin(t)+\cos(t)}{\cos(t)-\sin(t)}$

Откуда я делаю вывод, что $r=1$.

Верно ли я поступаю?

AKM:

Тригонометрия так пишется: \sin t \cos t. Поправил.

[Алексей К.]

По-моему, Вы должны определиться: либо $r$ — константа, и тогда всё неправильно, либо $x(t)=r(t)\cos t,\;y(t)=\ldots$, и тогда тоже всё неправильно.

Дифференцирование по $t$ проще обозначать штрихом: x', или x'_t: $x'$, $x'_t,\: r'_t$.

-- 26 мар 2011, 12:56 --

Ну да, $r(t)$ должно быть, полярный радиус.

[katerinka76]

Соглашусь. Пусть $r=r(t)$.

$y'_t=\sin t dr+r\cos t dt$
$x'_t=\cos t dr - r\sin t dt$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin t dr+r\cos t dt}{\cos t dr - r\sin t dt}=\frac{r\cos t +r\sin t}{r\cos t -r\sin t}$

Мои рассуждения правильны? И что же нужно найти в ответе? Зачем в задаче задано выражение для $\frac{dy}{dx}$?

[ИСН]

У Вас есть выражение, содержащее координаты. Какое именно выражение, неважно: какая-то функция, или какой-то интеграл, или бесконечный ряд, или там уравнение, или бог знает что ещё. Некие люди хотят с ним что-то сделать. Они полагают, что это будет легче, если перевести его в другие (полярные) координаты. Вот это - перевести - от Вас и требуется.
Так понятно?

[katerinka76]

Если честно, то все равно непонятно. До моего последнего шага я все правильно сделала? И что же тогда дальше надо делать?

[ИСН]

Понять, что за выражение у Вас. Что это? Интеграл? Уравнение? Загадка? Буриме? Стеариновая свечка?
Впрочем, это опционально, можете не делать.
По сути: куда это пропали все dr и dt?

[Алексей К.]

katerinka76 в сообщении #427662 писал(а):

$y'_t=\sin t dr+r\cos t dt$

Если $y=r\sin t$, то
либо $y'=r'\sin t + r\cos t$,
либо $dy=dr\sin t + r\cos t \,dt$. Написанное Вами не просто неверно, а "так нельзя!"

-- 26 мар 2011, 16:12 --

katerinka76 в сообщении #427662 писал(а):

И что же нужно найти в ответе? Зачем в задаче задано выражение для $\frac{dy}{dx}$?

Нужно переписать это выражение, заменив его на равносильное. Чтоб все иксы-игреки исчезли, а остались только эр и тэ.

Зачем это?
Ну, на факультете иностранных языков задают аналогичные задачи: студенту дают фразу на английском, и требуют записать её (её же!) по-французски.

[katerinka76]

С последним замечанием полностью согласна, признаю. Но вот насчет всего остального... Ну никак я не могу уловить ход Ваших мыслей. Я бы не обращалась на форум за помощью, если бы понимала. Я же просто прошу сказать, что и как я должна сделать, пошагово. Я перевела координаты в полярные, нашла производные. Затем приравняла то, что получилось у меня, и то, что было в условии задачи.

А ДАЛЬШЕ??? Так ведь не оставишь. Какой следующий шаг?

[Алексей К.]

Свои ошибки (при дифференцировании) в предыдущем сообщении исправил.

-- 26 мар 2011, 16:18 --

katerinka76 в сообщении #427662 писал(а):

$\frac{\sin t dr+r\cos t dt}{\cos t dr - r\sin t dt}=\frac{r\cos t +r\sin t}{r\cos t -r\sin t}$

Это правильно. Осталось преобразовать, упростить.

-- 26 мар 2011, 16:19 --

В первой дроби числитель и знаменатель разделите на $dt$. Там образуется $r'$.

-- 26 мар 2011, 16:21 --

Во второй дроби...

[katerinka76]

Ага, это уже ближе к делу. Сейчас сделаю. А в правой части нельзя сократить на r?

[arseniiv]

katerinka76 в сообщении #427682 писал(а):

А ДАЛЬШЕ??? Так ведь не оставишь. Какой следующий шаг?

А дальше всё упрощайте, пока не перестанет упрощаться. А ответы иногда пишут в очень причудливой форме, которая непосредственно при упрощении не получится, а наоборот, нужно упрощать её саму.

[katerinka76]

Спасибо за помощь! Теперь осталось поработать с тригонометрией.

[Алексей К.]

Ответ однако нам напишите.

[katerinka76]

Вы не поверите, но после всех тригонометрических преобразований ответ получился такой:

$\frac{dr}{dt}=r$

Все гениальное просто!

Еще раз благодарю за помощь!

[Алексей К.]

Мы поверим. Ради этого Вас и просили перевести эту фразу на французский язык.